До предела чисел. Эйлер. Математический анализ
Шрифт:
ГЛАВА 3
Берлин, столица анализа
Эйлер откликнулся на призыв Фридриха II, просвещенного правителя Пруссии, уже будучи известным ученым. В этот период он занялся новыми для себя дисциплинами, такими как геометрия, механика жидкостей и инженерное дело. При этом он никогда не оставлял анализ и посвятил ему ставшую бессмертной трилогию, а также работу по основополагающему вопросу — вариационному исчислению.
"Госпожа, я приехал из страны, где кто разговаривает, того вешают", — ответил Эйлер Софии Доротее, королеве-матери короля Пруссии, когда та добродушно упрекнула его в том, что он почти не участвует в придворных беседах. В 1741 году Эйлер вернулся
"В Берлине он руководил постройкой обсерватории и наблюдал за посадками в ботаническом саду, занимался подбором сотрудников, контролировал различные финансовые вопросы, издавал серии ежегодных календарей, служивших одним из источников дохода Академии. Король также доверил Эйлеру практические вопросы: например, консультацию по проекту изменения уровня воды в канале Финов в 1749 году [...]. В этот период он также руководил работами по установке насосов и водопровода в Сан- Суси, летней резиденции короля".
Однако государь остался недоволен работой ученого, о чем свидетельствует отрывок из его письма Вольтеру:
"Я хотел установить гидравлический насос в своем саду: Эйлер подсчитал, какую необходимую силу должны иметь лопасти, чтобы донести воду до цистерны, откуда потом она бы попала в систему канализаций и орошала территорию дворца Сан-Суси. Мельница была построена в соответствии с геометрическими выкладками, но не могла поднять к цистерне объем воды больше, чем на пять шагов. О, суета сует! О, тщетность геометрии!"
В 1747 году Эйлера выбрали членом Лондонского королевского общества; в 1748-м он снова выиграл Grand Prix Парижской академии наук с задачей о трех телах, которой затем воспользовался Алекси Клод Клеро (1713-1765) в своей работе в этой области. В 1758 году Эйлер был назначен академиком Парижской академии, так что у него были все возможные почетные титулы. Слава ученого была так велика, что, когда русские войска в 1760 году вторглись в Германию и причинили серьезные разрушения его дому в Шарлоттенбурге, то русский генерал Готтлоб Курт Генрих фон Тотлебен поспешил возместить Эйлеру ущерб и извинился со словами: "Я не воюю против науки". Императрица Елизавета также отправила ученому 4000 крон в качестве компенсации.
Около 1750 года возник знаменитый спор об авторстве принципа наименьшего действия: Кениг приписывал его Лейбницу, а Мопертюи — себе. Считается, что Эйлер открыл его независимо от остальных, но не опубликовал, чтобы не поставить Мопертюи, формально бывшего его начальником, в неловкое положение. Вольтер встал на сторону Кенига и в 1752 году написал иронический рассказ "Диатриба доктора Акакия, папского лекаря", в котором высмеивал Мопертюи. Фридрих положил конец этой полемике, изгнав Вольтера из
Академия осталась в руках Эйлера, который, тем не менее, не был назначен ее президентом. Сначала король предложил это место Жан Батисту Лерону Д’Аламберу, обладавшему бесспорным авторитетом, но с которым Эйлер был не в лучших отношениях. Он не хотел опять оказаться под начальством француза и высказал опасение, что Берлинская академия превращается в копию Парижской. Действительно, король назначал ее членами многих французов, особенно философов. Но Д’Аламбер, пообщавшись в ходе собеседований со смирившимся Эйлером, был поражен: этот мрачный ученый обладал невероятной памятью, разбирался во всех областях науки и был гением математики. Невозможно было понять, почему такой талант не продвигают по службе. Д’Аламбер с чрезвычайной любезностью отказался от места президента Академии и предложил назначить на него Эйлера — эрудита, известного во всем мире, у которого, к тому же, уже был здесь дом. Но, как мы уже говорили, в число личных качеств Эйлера не входила способность вести остроумные беседы и рассуждать об искусстве, литературе или философии, а также умение вести себя при дворе, что очень ценил Фридрих II. Можно сказать, что король придавал большее значение этому, а не научным знаниям своего "математического Циклопа", как называл Фридрих ученого в письмах Вольтеру. Поэтому правитель не последовал совету Д’Аламбера и сам занял должность президента, что, видимо, не пришлось Эйлеру по вкусу. С этого момента их отношения стали довольно напряженными, и Эйлер, получавший крайне привлекательные предложения из России, решил опять уехать. Однако Фридрих не отпустил его так просто (в те времена нельзя было сразу перестать служить монарху): он находил все новые причины, чтобы задержать ученого. В конце концов Эйлер все же получил разрешение на отъезд.
ФОРМУЛА ДЛЯ МНОГОГРАННИКОВ
Из всех работ Эйлера, написанных в Берлине, одну с трудом можно приписать к какой-либо области математики того времени. В конце предыдущей главы мы очертили принципы новой области математики — теории графов (начало ей положил сам Эйлер в решении задачи о мостах Кенигсберга) — и более обширной области, частью которой она является, — топологии. Сначала в частных письмах разным адресатам, отправленных между 1750 и 1751 годами, а потом и открыто в статье 1758 года Эйлер вернулся к топологии с невероятным результатом: формулой для выпуклых многогранников с С гранями, А ребрами и V вершинами:
C - A + V = 2.
В начале 2000-х годов читатели авторитетного журнала Mathematical Intelligencer голосовали за самую красивую математическую формулу в истории. Эта формула для полиэдров заняла второе место, а первое — формула, также связанная с Эйлером: еxi + 1 = 0.
Сегодня мы бы сказали, что выражение С - А + V является топологическим инвариантом, то есть характеристикой поверхности, не меняющейся несмотря на трансформации, которым она подвергается, в частности происходящими в результате деформации, не разрушающей ее. Поверхность, для которой формула Эйлера является топологическим инвариантом, — это сфера, а следовательно, и любой гомеоморфный ей трехмерный полиэдр, то есть все тела, полученные в результате деформации сферы.
Формулу С - А + V = 2 обычно называют формулой Эйлера — Декарта, поскольку, хотя официально ее обнародовал Эйлер, Декарт (1596-1650) открыл ее в 1649 году. Точнее, он сделал другое открытие, подразумевавшее результат Эйлера, но не успел опубликовать его при жизни.
РИС. 1
СВОЙСТВА МНОГОГРАННИКА
Рассмотрим произвольный выпуклый многогранник (хотя на самом деле формула Эйлера работает для любого многогранника, который можно трансформировать в выпуклый, главное, чтобы он состоял из целого блока, а не из двух многогранников, соединенных в одной точке или с общим отрезком, и не имел дыр). Назовем вершины, ребра и грани многогранника с вышеуказанными характеристиками V, А и C. Как мы уже сказали, Эйлер обнаружил, что