Энциклопедия лучших игр со словами и цифрами
Шрифт:
Услышав от короля, что существует по крайней мере 1 неверная жена, он понимает, что это его супруга, которую он обязан застрелить.
Далее пусть n = 2. Мужья этих женщин полагают, что в королевстве есть лишь 1 неверная жена, и ждут, что ее супруг застрелит ее в первую же ночь. Поскольку убийства не произошло, это значит, что их собственная жена неверна и ее следует застрелить.
Действуя далее по индукции, получаем, что n неверных жен будет застрелено в n-ю ночь, то есть в сороковую ночь было убито 40 неверных жен.
Адрес
Условие
Даша и Наташа хотят отправиться в гости к Саше. Все они живут на одной и той же улице в разных домах, но Даша и Наташа не знают, где живет Саша. Дома на улице имеют номера от 1 до 99.
Даша спросила Сашу: «Верно ли, что номер твоего дома – полный квадрат?». Саша ответил. Затем Даша спросила: «Верно ли, что номер твоего дома больше 50?». Саша ответил.
Затем Даша подумала, что она знает адрес Саши, и пошла к нему в гости. Оказалось, что она ошиблась, что и неудивительно, поскольку Саша ответил правдиво только на второй вопрос.
Подсказка: известно, что Саша на все четыре вопроса ответил утвердительно.
После этого Наташа спросила Сашу: «Верно ли, что номер твоего дома – полный куб?». Саша ответил. Затем Наташа спросила: «Верно ли, что номер твоего дома больше 25?». Саша ответил.
Наташа решила, что она знает номер дома Саши, и отправилась к нему в гости. Оказалось, что и она ошиблась, поскольку Саша ответил правдиво только на второй вопрос.
Определите адрес всех троих друзей, если известно, что номер дома Саши меньше, чем номера домов девушек и что сумма всех номеров – удвоенный полный квадрат.
Ответ
Обозначим Nd, Nn, Ns номера домов Даши, Наташи и Саши. Очевидно, что Саша ответил Даше оба раза утвердительно.
Существует только 2 квадрата больше 50: 64 и 81 – значит в одном из этих домов живет Даша.
Поэтому она и подумала, что Саша живет в другом. Значит, на самом деле Ns > 50 и Ns = 64 и ? 81; Nd ? 64 или Nd = 81.
Аналогично Саша ответил Наташе оба раза «да». Существует только 2 куба больше 25 – 27 и 64, значит в одном из этих домов живет Наташа.
Именно поэтому она и подумала, что Саша живет по другому адресу.
Учитывая, что деле Ns > 50, Ns ? 64 и ? 81, получаем Nd = 81, Nn = 64, Ns > 50, Ns < 64. Перебором находим, что Ns = 55 (81 + 64 + 55 = 2х 102).
Получается, что номер дома Даши 81, Наташи – 64, а Саши – 55.
Опечатка
Условие
В одном из учебников по математике написано, что наибольшее известное простое число – это разность 23021377 – 1.
Не опечатка ли это?
Подсказка:
Ответ
Это опечатка. Любая степень числа, оканчивающегося на 1, тоже оканчивается на 1. Поэтому разность 23021377 – 1 оканчивается на 0 и, следовательно, не является простым числом.
Торт
Условие
Хозяйка купила торт. К ней может прийти или 10, или 11 гостей.
На какое наименьшее число кусков ей необходимо заранее разрезать торт, чтобы его можно было поделить поровну как между 10, так и между 11 гостями?
Подсказка: если придут 10 гостей, каждый должен получить не меньше 2 кусков, иначе торт невозможно было бы разделить поровну на 11 человек.
Ответ
Хозяйке следует разрезать торт на 20 кусков. Докажем сначала, что разрезать торт меньше, чем на 20 кусков, не удастся. Если придут
10 человек, то каждый из них должен получить не меньше 2 кусков. В самом деле, в противном случае один из 10 гостей получил бы 1 кусок и 1/10 часть торта, а если бы пришло
11 гостей, то этот кусок нужно было бы дополнительно разрезать.
Таким образом, количество кусков не меньше, чем 2 ? 10 = 20.
Покажем, что 20 кусков торта хватит всем гостям. Разрежем торт на 10 кусков по 1/11 части и на 10 кусков по 1/110 части. Если придут 10 гостей, то каждый получит один большой кусок и один маленький – всего 1/11 + 1/110 = 1/10. Если же придут 11 человек, то 10 из них получат по 1 большому куску, а 1 человек – 10 маленьких кусков.
Рулетка
Условие
Пьер никогда не проигрывает в рулетку больше 4 раз подряд и никогда не ставит на кон больше 20 долларов.
Каким образом он может выиграть 1000 долларов, если в случае выигрыша в рулетку возвращается удвоенная ставка и в самом начале игры у Пьера есть 100 долларов?
Подсказка: Пьер может делать ставки таким образом, чтобы выигрыш приходился на ставки, размеры которых больше предыдущих проигрышей. Для этого следует увеличить ставку после проигрыша.
Ответ
Пусть Пьер поставит сначала 1 доллар и, если выиграет, скажет «о’кей» и снова поставит 1 доллар. Если проиграет, то в следующей ставке он ставит 2 доллара. Если выиграет, то
его выигрыш покроет предыдущий проигрыш и по сумме 2 ставок он выиграет 1 доллар.
После этого пусть Пьер снова скажет «о’кей» и в новой ставке ставит 1 доллар. Если он проиграет и во второй раз, в третий раз он поставит 4 доллара, чтобы в случае выигрыша покрыть предыдущие проигрыши.