«Если», 2012 № 08
Шрифт:
Мисс By, студентка-практикантка, оказалась в школе всего на семестр. Молодая и красивая, она школьникам понравилась. Мисс By еще не успела набраться циничности, и ученики пока были ей интересны.
Она подошла к парте и положила перед ним листки с контрольной.
— У тебя на последней странице правильные ответы, но ты их стер. Почему?
Дэвид осмотрел страницу. Она была пуста. Как же мисс By узнала? Он всегда соблюдал осторожность: легко нажимал на карандаш и тщательно стирал, оставляя как можно меньше следов — так он поступал со всем в жизни.
— Обходя класс во время контрольной, я увидела, что ты
Дэвид промолчал. Ему нравилось, как его омывает голос мисс By. Он представил его в виде графика полинома, плавно поднимающегося, а потом опускающегося. Паузы в ее речи были корнями — в тех местах, где график пересекал ось «х».
— Знаешь, нет ничего плохого в том, чтобы чем-то интересоваться. — Она опустила руку ему на плечо. От нее пахло свежевыстиранным бельем, летними цветами. — Уметь что-то делать хорошо.
Уже очень давно никто не обращал на него внимания просто так, а не после того, как случалось что-то плохое. Он даже не сознавал, насколько ему этого не хватало.
У Дэвида была единственная фотография отца, снятая в день окончания средней школы. На его худом теле шапочка и мантия казались велики на несколько размеров. Лицо с мелкими чертами было еще мальчишеским, переносица тонкая и хрупкая. Он не улыбался в объектив. Глаза казались испуганными, устремленными на что-то бесконечно далекое. Возможно, он думал о Дэвиде, тогда еще почти незаметном под одеждой Бетти. А может быть, он увидел тот грузовик с отказавшими тормозами, который собьет его вечером по дороге домой, когда он будет возвращаться с работы.
Глаза у него были голубые, с длинными ресницами, совсем как у Дэвида.
Когда Джек видел эти глаза, он всегда впадал в ярость — и трезвый, и пьяный:
— Ты чертов слабак и размазня, совсем как твой папаша.
Поэтому Дэвид научился не смотреть Джеку в глаза и всегда старался отворачиваться, когда тот был рядом. В некоторые вечера это срабатывало. Но не сегодня.
— Смотри на меня, — приказал Джек.
Они ужинали. Бетти кормила малышку на кушетке. За столом сидели только они двое. В углу громыхал телевизор, выдавая вечерние новости.
— Я тебя кормлю, одеваю и даю крышу над головой. И самое малое, что я могу просить за это, — немного уважения. Сиди прямо и смотри на меня, когда я с тобой разговариваю!
Дэвид повиновался. Он попытался убрать с лица всякое выражение, а взгляд сосредоточить на чем-то за спиной отчима. И считал, через сколько секунд Джек взорвется. В каком-то смысле он даже испытывал облегчение. Тяжелее всего каждый вечер было ожидание. Неопределенность из-за незнания, в каком настроении Джек вернется домой и что станет делать. Но теперь ожидание кончилось. И ему осталось только терпеть.
— И не смей насмехаться надо мной, дерьмо мелкое! Ты напрашиваешься на трепку.
Бетти ушла с малышкой в спальню. Она всегда уходила, когда в голосе Джека появлялась эта характерная интонация.
А Дэвиду захотелось, чтобы он был ростом с отчима, с такими же толстыми бицепсами, мозолистыми костяшками пальцев и плоским носом, которому и удары нипочем. И чтобы у него были когти и острые зубы.
— Георг Кантор стал первым, кто всерьез задумался над понятием бесконечности, — сказала мисс By.
«Клуб математиков» был секретом Дэвида. Приходя сюда, он рисковал. Вступая в любой клуб, ты раскрываешь что-то о себе, делаешь себя уязвимым, если твоя задача — раствориться, не оставлять следов. Он мог представить, как стал бы насмехаться Джек, если бы узнал.
«Решил, что ты умный, да? — Он представил злобный взгляд Джека, его желтые зубы и запах перегара изо рта. — Совсем как твой папаша. Только посмотри, куда довел его умишко, когда он не сумел удержать член в штанах».
— Он задумался о размере бесконечности, — продолжила мисс By. — Человеку трудно представить бесконечность, но Кантор дал нам возможность быстро взглянуть на нее и удержать в сознании, пусть даже на секунду.
Как по-вашему, что больше: бесконечный набор всех положительных рациональных чисел или бесконечный набор всех натуральных чисел?
Вполне естественной кажется мысль, что положительных рациональных чисел гораздо больше, чем натуральных. В конце концов, только между нулем и единицей имеется бесконечное количество рациональных чисел. И между каждой последовательной парой натуральных тоже бесконечно много интервалов. Бесконечность, умноженная на бесконечность, должна быть больше, чем просто бесконечность.
Великим озарением Кантора стало то, что всё не так. Есть способ отобразить каждое натуральное число относительно положительного рационального числа таким образом, что будет видно — оба набора одинакового размера.
Положительное рациональное число имеет форму p/q, где р и q — натуральные числа. Следуя вдоль стрелок на графике, мы можем быть уверены, что каждое положительное рациональное число будет рано или поздно пронумеровано на зигзагообразном пути через плоскость (пропуская любые повторения): первое 1/1, второе 2/1, третье 1/2, четвертое 3/1, пятое 1/3, шестое 4/1, седьмое 3/2, восьмое 2/3, и так до бесконечности. Подсчитывая их, мы отображаем каждое натуральное число относительно положительного рационального. И хотя кажется, что вселенная рациональных чисел будет намного больше вселенной натуральных чисел, оказывается, что они одного размера.
Но Кантор приводит еще более странный аргумент. Используя тот же метод, можно показать, что в интервале от 0 до 1 существует столько же рациональных чисел, сколько и всех рациональных чисел.
Просто немного изменив путь, чтобы всегда оставаться ниже линии p=q, мы сможем пересчитать все рациональные числа между 0 и 1. Поскольку здесь отображение один к одному, или биективное (биекция), между натуральными и положительными рациональными числами и биекция между натуральными и рациональными числами в интервале от 0 до 1, мы знаем, что все наборы имеют одинаковый размер, или одинаковую кардинальность. Кардинальное число набора всех натуральных чисел называется алеф-ноль, по названию буквы «алеф» в ивритском алфавите.