Есть идея!
Шрифт:
Попробуем уточнить, что такое геометрия, и определим ее с помощью такого понятия, как симметрия. Под симметрией принято понимать такое преобразование фигуры, которое оставляет фигуру неизменной. Например, буква H симметрична относительно поворота на 180°. Это означает, что если букву H повернуть на 180° (поставить «вверх ногами»), то она перейдет в фигуру, неотличимую от буквы H в исходном положении (разумеется, при условии, если перекладина в букве H находится строго посредине). Слово «AHA», стоящее на обложке этой книги, обладает зеркальной, или двусторонней симметрией: если приставить к нему справа или слева зеркало, то зеркальное отражение слова будет неотличимо от оригинала.
Любой раздел геометрии можно определить
Хотя геометрические мотивы встречаются во всех главах нашей книги, в этой главе мы собрали задачи, в которых геометрический аспект имеет явное преимущество перед всеми остальными. При отборе предпочтение отдавалось таким задачам, которые при надлежащем подходе (и «везении») допускают простые и ясные решения. Первая же задача — о разрезании сыра — отчетливо показывает, как тесно переплетаются даже в простейших задачах «сферы влияния» самых различных разделов математики: ее можно рассматривать как задачу по планиметрии, стереометрии, комбинаторике, теории чисел. В этой же задаче нетрудно усмотреть и зачатки исчисления конечных разностей.
«Пасутся кони на другом поле», как ни странно, — топологическая задача. Метод нитей и пуговиц позволяет свести ее к задаче о точках на простой замкнутой кривой. Форма замкнутой кривой для решения задачи не имеет ни малейшего значения — важны лишь топологические свойства кривой. Мы приводим решение задачи для случая, когда точки расположены на окружности, но с тем же успехом мы могли взять кривую, образующую периметр квадрата или треугольника.
Следующие две задачи («Невиданный меч» и «Пари на полюсе») снова выводят нас из плоскости в евклидову геометрию трехмерного пространства. При взгляде на маршруты полетов невольно вспоминается другая знаменитая задача о путях — задача о четырех черепахах. На ее примере мы видим, что иногда простые идеи позволяют избежать применения несравненно более сложных методов математического анализа. Задача об искусном землемере Рэнсоме возвращает нас на плоскость и знакомит с такими главами евклидовой геометрии, как теория разрезаний и разбиений. Задачи на разбиение земельных участков относятся к так называемой комбинаторной геометрии плоскости. Задача мисс Евклид о разрезании куба принадлежит к комбинаторной геометрии пространства.
Задача о ковровом покрытии для кольцевого коридора и ее трехмерный аналог — задача о просверленной насквозь сфере — могут служить прекрасными примерами того, как некая величина, которая, казалось бы, должна изменяться в зависимости от значений других параметров, в действительности принимает лишь одно значение. Кто мог бы ожидать, что при просверливании в сфере сквозного цилиндрического канала заданной длины объем оставшейся части сферы при постоянной длине канала не зависит ни от радиуса сферы, ни от диаметра канала? Впервые столкнувшись с теоремой о таком удивительном постоянстве, математик выразит свое изумление и почти заведомо скажет: «Красивый результат!»
Что именно имеют в виду математики, называя теорему или формулу красивой, точно не известно. Красота в их понимании каким-то образом связана с неожиданной простотой, но сколь ни трудно объяснить, в чем состоит эстетическая
Как разделить головку сыра
Кухня в ресторане «У Джо» оставляет желать лучшего, зато выбор сыров у Джо отменный.
Цилиндрическая головка сыра таит в себе немало интересных задач на разрезание. Проведя лишь 1 прямолинейный разрез, ее нетрудно разделить на 2 одинаковые части.
Два прямолинейных разреза позволяют разделить головку сыра на 4 одинаковые части, а 3 прямолинейных разреза — на 6 равных частей.
Однажды официантка Рози попросила Джо разрезать сыр на 8 одинаковых частей.
Джо. Хорошо, Рози. Сделать это совсем нетрудно. Я разделю сыр на 8 одинаковых частей четырьмя прямолинейными разрезами.
Подавая сыр на стол, Рози вдруг поняла, что Джо мог действовать и более экономно: чтобы разделить головку на 8 одинаковых частей, достаточно провести лишь 3 прямолинейных разреза.
Как это сделать?
Рози пришло в голову, что цилиндрическая головка сыра представляет собой не плоскую фигуру, а тело, которое можно разрезать по горизонтальной плоскости, проходящей через его центр. На рис. 1 показано, как тремя разрезами разделить сыр на 8 одинаковых порций. В этом решении предполагается, что все три разреза проведены одновременно. Если же разрезы проводить последовательно, один за другим, и перед каждым разрезом переставлять куски сыра наиболее удобным образом, то тремя разрезами сыр можно разрезать по-другому (так, как он разрезан^на подносе в руках Рози): для этого один из двух кусков, получившихся после первого разреза, нужно поставить на другой, провести еще один разрез, взять одну из «двухэтажных» половин, поставить на другую и провести третий разрез. После третьего разреза головка сыра окажется разделенной на 8 одинаковых порций.
Решение Рози столь просто, что кажется почти травиальным, и тем не менее оно может служить хорошим введением в серию важных задач на разрезание, теория которых связана с исчислением конечных разностей, а многие доказательства проводятся методом математической индукции. Конечные разности служат мощным средством получения формул общих членов числовых последовательностей. Интерес к числовом последовательностям неуклонно возрастает, что объясняется по крайней мере двумя причинами: во-первых, тем, что числовые последовательности встречаются во многих числовых задачах, и, во-вторых, быстротой, с которой ЭВМ позволяют производить над числовыми последовательностями любые действия.