Фейнмановские лекции по физике. 2. Пространство. Время. Движение

Фейнман Ричард Филлипс

Итак, перечислим свойства момента инерции относительно данной оси, которую мы назовем осью z:

1. Момент инерции равен

2. Если предмет состоит из нескольких частей, причем момент инерции каждой из них известен, то полный момент инерции равен сумме моментов инерции этих частей.

3. Момент инерции относительно любой данной оси равен моменту инерции относительно параллельной оси, про­ходящей через центр масс, плюс произведение полной массы на квадрат расстояния данной оси от центра масс.

4. Момент инерции плоской фигуры относительно оси, пер­пендикулярной к ее плоскости, равен сумме моментов инерции относительно любых двух других взаимно пер­пендикулярных осей, лежащих в плоскости фигуры и пе­ресекающихся с перпендикулярной осью.

Таблица 19,1 ·

простые примеры моментов инерции

В табл. 19.1 приведены моменты инерции некоторых элементарных фигур, имеющих однородную плотность масс, а

табл. 19.2 — моменты инерции некоторых фигур, которые могут быть получены из табл. 19.1 с использованием пере

численных выше свойств.

Таблица 19.2 · моменты инерции, полученные из табл. 19.1

§ 4. Кинетическая энергия вращения

Продолжим изучение динамики вращения. При обсуждении аналогии между линейным и угловым движением в гл. 18 мы использовали теорему о работе, но ничего не говорили о кинети­ческой энергии. Какова будет кинетическая энергия твердого тела, вращающегося вокруг некоторой оси с угловой скоростью w? Используя нашу аналогию, можно немедленно угадать правильный ответ. Момент инерции соответствует массе, угло­вая скорость соответствует обычной скорости, так что кине­тическая энергия должна быть равна 1/₂ Iw². Так оно и есть на самом деле, и сейчас мы покажем это. Предположим, что тело вращается вокруг некоторой оси, так что каждая точка движет­ся со скоростью wr,-, где r_i — расстояние от данной точки до оси. Если масса этой точки равна m_i, то полная кинетическая энергия всего тела равна просто сумме кинетических энергий всех частиц

а поскольку w — постоянная, одна и та же для всех точек, то

В конце гл. 18 мы отмечали, что существуют очень интерес­ные явления, связанные с вращением не абсолютно твердого тела, способного изменять свой момент инерции. Именно, в примере с вращающимся столом у нас был момент инерции I₁ и угловая скорость w₁ при вытянутых руках. Согнув руки, мы изменили момент инерции до I₂, а угловую скорость — до w₂. Так как у нас нет никаких моментов сил относительно оси вра­щения стола, то момент количества движения должен остаться постоянным. Это означает, что I₁w₁=I₂w₂. А что можно ска­зать об энергии? Это очень интересный вопрос. Согнув руки, мы начинаем вращаться быстрее, но момент инерции при этом умень­шается и может показаться, что кинетическая энергия должна остаться той же самой. Это, однако, неверно, потому что в дей­ствительности сохраняется Iw, а не Iw². Сравним теперь кине­тические энергии в начале и в конце. В начале кинетическая энергия равна ¹/₂/Iw²₁=¹/2Lw₁, где L=I₁w₁=I₂w₂— момент количества движения. Точно таким же образом кинетическая энергия в конце равна Т=¹/₂Lw₂,а поскольку w₂>w₁, то кинетическая энергия в конце оказывается большей, чем в на­чале. Итак, вначале, когда руки были вытянуты, мы вращались с какой-то кинетической энергией, затем, согнув руки, мы стали вращаться быстрее и наша кинетическая энергия возросла. А как быть с законом сохранения энергии? Ведь должен же кто-то произвести работу, чтобы увеличить энергию? Это сделали мы сами! Но когда, в какой момент? Когда мы держим гантели гори­зонтально, то никакой работы не производим. Выпрямляя руки в стороны и сгибая их, мы тоже не можем произвести никакой работы. Это, однако, верно только, пока нет никакого вращения! При вращении же на гантели действует центробежная сила. Они стремятся вырваться из наших рук, так что, сгибая во время вращения руки, мы преодолеваем противодействие центробеж­ной силы. Работа, которая на это затрачивается, и составляет разницу в кинетических энергиях вращения. Вот откуда бе­рется этот добавок.

Существует еще одно очень интересное явление, которое мы рассмотрим только описательно, чтобы просто иметь о нем представление. Хотя изучение этого явления требует несколько большего опыта, но упомянуть о нем стоит, ибо оно очень любо­пытно и дает много интересных эффектов.

Возьмем снова эксперимент с вращающимся столиком. Рас­смотрим отдельно тело и руки, с точки зрения человека, вра­щающегося на столике. Согнув руки с гантелями, мы стали вращаться быстрее, но заметьте, что тело при этом не изменило своего момента инерции; тем не менее оно стало вращаться быстрее, чем прежде. Если бы мы провели вокруг тела окруж­ность и рассмотрели только предметы внутри этой окружности, то их момент количества движения изменился бы; они закрути­лись бы быстрее. Следовательно, когда мы сгибаем руки, на тело должен действовать момент силы. Однако центробежная сала не может дать никакого момента, так как она направлена по радиусу. Это говорит о том, что среди сил, возникающих во вращающейся системе, центробежная сила не одинока: есть еще и другая сила. Эта другая сила носит название кориолисовой силы, или силы Кориолиса. Она обладает очень странным свой­ством: оказывается, что если мы во вращающейся системе дви­гаем какой-то предмет, то она толкает его вбок. Как и центро­бежная сила, эта сила кажущаяся. Но если мы живем во вра­щающейся системе и хотим что-то двигать по радиусу, то для этого мы должны тянуть его несколько вбок. Именно эта «бо­ковая» сила создает момент, который раскручивает наше тело.

Перейдем теперь к формулам и покажем, как кориолисова сила работает на практике. Пусть Мик сидит на карусели, ко­торая кажется ему неподвижной. С точки зрения Джо, который стоит на земле и знает истинные законы механики, карусель крутится. Предположим, что мы провели радиальную прямую на карусели и пусть Мик двигает прямо по этой линии какую-то массу. Я хочу показать, что для того, чтобы все было так, как мы описали, необходима боковая сила. Это можно увидеть, обратив внимание на момент количества движения вращающейся массы. Она крутится все время с одной и той же угловой ско­ростью w, поэтому ее момент количества движения равен

L=mv_тавгr=mwr·г=mwг².

Если масса расположена близко к центру, то он сравнительно мал, но если мы передвигаем ее в новое положение и если мы увеличиваем r, то масса mприобретает больший момент количества движения, т. е. во время движения по радиусу на нее должен действовать некоторый момент силы. (Чтобы на кару­сели двигаться по радиусу, нужно наклониться и толкаться вбок. Попробуйте как-нибудь сами проделать это.) Поскольку момент силы равен скорости изменения L во время движения массы mпо радиусу, то

где через f_k обозначена сила Кориолиса. В действительности мы хотели узнать, какую боковую силу должен прилагать Мик, чтобы двигать массу mсо скоростью v_r=dr/dt. Как видите, она равна F_K=т/r=2mwv_r.

Теперь, имея формулу для кориолисовой силы, давайте рас­смотрим несколько более подробно всю картину в целом. Как можно понять причину возникновения этой силы из элементар­ных соображений? Заметьте, что кориолисова сила не зависит от расстояния до оси и поэтому действует даже на оси! Оказывает­ся, что легче всего понять именно силу, действующую на оси вращения. Для этого нужно просто посмотреть на все происхо­дящее из инерциальной системы Джо, который стоит на земле. На фиг. 19.4 показаны три последовательных положения массы m, которая при t=0 проходит через ось.

Фиг. 19.4. Три последовательных положения движущейся по радиусу точки вращающегося столика.

Из-за вращения карусели масса, как мы видим, движется не по прямой линии, а по некоторому кривому пути, касающемуся диаметра в точке r=0. Но для того чтобы она двигалась по кривому пути, долж­на действовать ускоряющая сила. Это и есть кориолисова сила.

Однако с кориолисовой силой мы встречаемся не только в подобных ситуациях. Можно показать, что если предмет дви­жется с постоянной скоростью по краю диска, то на него тоже действует кориолисова сила. Почему? Мик видит предмет дви­жущимся со скоростью v_м, а Джо видит его движущимся по окружности со скоростью v_д=v_м+wr, поскольку предмет вдо­бавок переносится каруселью. Как мы уже знаем, действующая в этом случае сила будет, в сущности, полностью центробежной силой скорости v_д, равной тv²_Д/r. Но, с точки зрения Мика, она должна состоять из трех частей. Все это можно записать в сле­дующем виде:

Итак, F_r — это сила, которую измеряет Мик. Попытаемся по­нять, откуда что берется. Может ли Мик признать первый член? «Конечно,— сказал бы он,— даже если бы я не вращался, то та­кая центробежная сила должна возникнуть, если побежать по кругу со скоростью v_м». Итак, это просто центробежная сила, появления которой Мик ожидает и которая не имеет ничего общего с вращением карусели. Вдобавок Мик думает, что долж­на быть еще одна центробежная сила, действующая даже на неподвижные предметы на его карусели. Это дает третий член. Однако в дополнение к ним существует еще один член — второй, который опять равен 2 mwv_м. Раньше, при радиальной ско­рости, кориолисова сила f_k была тангенциальна. Теперь же, при тангенциальной скорости, она радиальна. В самом деле, одно выражение отличается от другого только знаком. Сила всег­да имеет одно и то же направление по отношению к скорости независимо от того, куда направлена скорость. Она действует под прямым углом к скорости и равна по величине 2mwv.