Фейнмановские лекции по физике. 2. Пространство. Время. Движение

Фейнман Ричард Филлипс

Между массой и моментом инерции имеется существенная разница, которая проявляется удивительным образом. Дело в том, что масса объекта обычно не изменяется, тогда как момент инерции легко изменить. Представьте себе, что вы встали на стол, который может вращаться без трения, и держите в вытянутых руках гантели, а сами медленно вращаетесь. Можно легко из­менить момент инерции, согнув руки; при этом наша масса останется той же самой. Когда мы проделаем все это, то закон сохранения момента количества движения будет творить чуде­са, произойдет нечто удивительное. Если моменты внешних сил равны нулю, то момент количества движения равен моменту инерции I₁, умноженному на угловую скорость ш₁, т. е. ваш момент количества движения равен I₁w₁. Согнув затем руки, вы тем самым уменьшили момент инерции до величины I₂. Но поскольку из-за закона сохранения момента количества движения произведение Iw должно остаться тем же самым, то I₁w₁ должно быть равно I₂w₂. Так что если вы уменьшили момент

инерции, то ваша угловая скорость в результате этого должна возрасти.

Глава 19

ЦЕНТР МАСС; МОМЕНТ ИНЕРЦИИ

§ 1. Свойства центра масс

§ 2. Положение центра масс

§ 3. Вычисление момента инерции

§ 4. Кинетическая энергия вращения

§ 1. Свойства центра масс

В предыдущей главе мы установили факт существования некоторой замечательной точки, называемой центром масс. Она замечательна тем, что если на частицы, образующие тело (неважно, будет ли оно твердым или жидким, звездным скоплением или чем-то другим), дей­ствует великое множество сил (конечно, имеют­ся в виду только внешние силы, поскольку все внутренние силы компенсируют друг друга), то результирующая сила приводит к такому уско­рению этой точки, как будто в ней сосредо­точена вся масса тела М. Давайте теперь обсу­дим свойство центра масс несколько подробнее.

Положение центра масс (сокращенно ц. м.) определяется уравнением

Это, разумеется, векторное уравнение, т. е. фактически три уравнения — по одному для каждого из трех направлений. Но мы будем рассматривать только x-направление; если вы поймете, что происходит в x-направлении, то поймете и два остальных. Что означает равен­ство Х_ц.м.=Sm_ix_i/Sm_i? Предположим на ми­нуту, что тело разделено на маленькие кусочки с одинаковой массой m, причем полная масса будет равна числу таких кусочков N, умножен­ному на массу одного кусочка, скажем 1 г, или какую-то другую единицу. Тогда наше уравне­ние просто означает, что нужно взять коорди­наты х всех кусочков, сложить их и резуль­тат разделить на число кусочков, т. е. X_ц.м.=mSx_i/mN=Sx_i/N. Иными словами, если массы кусочков равны, то Х_{ц. м.–} будет просто средним арифметическим x-коорди­нат всех кусочков. Но предположим, что один из кусочков вдвое тяжелее, чем каждый из остальных. Тогда в нашу формулу его координата будет входить с коэффициентом 2, т. е. в суммах ее нужно учитывать дважды. Нетрудно понять, почему это про­исходит. Ведь тяжелый кусочек можно представить себе как бы состоящим из двух легких, таких же, как и все остальные, так что, когда мы вычисляем среднее, его координату х нужно учитывать дважды: ведь кусочков-то в этом месте два. Таким образом, Х_ц.м.равно просто среднему арифметическому х-координат всех масс, причем каждая координата считается некоторое число раз, пропорциональное массе, как будто она разделена на маленькие кусочки единичной массы. Исходя из этого, легко доказать, что Х_ц.м. должна находиться где-то между самой близ­кой и самой далекой частичкой. Вообще центр масс должен лежать где-то внутри многогранника, проведенного через край­ние точки тела. Однако вовсе не обязательно, чтобы центр масс находился в самом теле; ведь могут быть тела, подобные окруж­ности, например обруч, центр масс которого находится в гео­метрическом центре, а не на самом обруче.

Конечно, если объект симметричен, например прямоугольник, обладающий линией симметрии, то его центр масс должен лежать где-то на этой линии. Кстати, прямоугольник имеет еще одну линию симметрии и это однозначно определяет поло­жение его центра масс. Для просто симметричного объекта центр масс должен лежать где-то на оси симметрии: ведь отри­цательных х в этом случае ровно столько же, сколько и поло­жительных.

Существует еще один очень забавный способ нахождения центра масс. Вообразите

себе тело, состоящее из двух кусков А и В (фиг, 19.1).

Фиг. 19.1. Центр масс сложного тела лежит на линии, соеди­няющей центры масс двух составляющих его частей.

Центр масс в этом случае можно найти сле­дующим образом. Находим сначала отдельно центры масс сос­тавных частей А и В и их полные массы М_Аи М_{B. После этого находим центр масс двух точечных тел, одно из которых имеет массу МАи расположено в центре масс части А, а другое — массу МBи расположено в центре масс части В, Полученная точка и будет центром масс всего тела. Другими словами, если нам известны центры масс всех частей сложного тела, то, чтобы найти его центр масс, не нужно повторять все сначала, а дос­таточно просто найти центр масс системы точечных тел с мас­сами, равными массам каждой из частей и расположенными в их центрах масс. Посмотрим, как это получается. Пусть мы хотим определить центр масс сложного тела, одни из частиц которого принадлежат части А, а другие — части В. При этом мы можем разбить полную сумму Smixi на сумму по части А, т. е. SAmixi и сумму по части В, т. е. SBmixi. Если бы мы находили центр масс только части А, то нам потребовалась бы первая из этих сумм, которая, как вы знаете, равна МАХА, т. е. полной массе части А на x-координату ее центра масс: это просто следствие теоремы о центре масс, применен­ной к части A. То же самое можно сказать и о части В. Сумма SBmixiдолжна быть равна МВХВ. Сложив эти два результата, мы, конечно, должны получить MX, т. е.}

МХ_ц.м.=Sm_ix_i+Sm_ix_i=М_АХ_А+М_ВХ_В. (19.2)

Полная же масса М, очевидно, равна М_А+М_B, так что выражение (19.2) представляет собой не что иное, как определение центра масс двух точек, одна из которых имеет массу М_Аи координату Х_А, а другая — массу М_Bи координату Х_B.

Теорема о движении центра масс интересна не только сама по себе, она еще играет очень важную роль в развитии нашего понимания физики. Если мы предположим, что законы Ньютона верны только для маленьких частей, составляющих большое те­ло, то эта теорема показывает, что они верны также и для боль­шого тела. Мы можем не знать его детального строения и нам известны лишь общая масса и полная сила, действующая на него. Другими словами, законы Ньютона имеют ту особенность, что если они справедливы в малом масштабе, то справедливы и в большом. Нет никакой нужды рассматривать футбольный мяч как ужасно сложную вещь, состоящую из мириада взаимодей­ствующих частиц, а достаточно изучить только движение его центра масс под действием внешней силы F, чтобы получить F=ma, где а — ускорение центра масс, а m — полная масса мяча. Итак, закон F=ma воспроизводит сам себя в большом масштабе. (Наверное, должно быть какое-нибудь хорошее гре­ческое слово, которым можно было бы назвать подобные вос­производящие себя в большом масштабе законы.)

Нетрудно, конечно, догадаться, что первый открытый чело­веком закон должен быть именно таким законом, воспроизво­дящим самого себя в большом масштабе. Почему? Да просто потому, что истинный размер фундаментальных «винтиков и колесиков» Вселенной есть атомный размер, который настолько меньше размеров окружающих нас вещей, что только сейчас начинает входить в обычную жизнь. Итак, первая открытая человеком закономерность не могла иметь отношения к разме­рам атомного масштаба. Если бы законы для малых частиц не воспроизводили себя в большом масштабе, то открыть их было бы не так-то легко. А что можно сказать об обратной проблеме? Должны ли законы микромира быть теми же самыми, что и для больших тел? Никакой необходимости в этом, конечно, нет.

Давайте, однако, предположим, что истинное движение атомов описывается неким странным уравнением, которое не воспроиз­водит себя при переходе к большему масштабу. Вместо этого оно обладает тем свойством, что при таком переходе его можно приближенно заменить каким-то выражением, которое при все большем и большем увеличении масштаба воспроизводит само себя. Это вполне может случиться, и в действительности так оно и происходит. Законы Ньютона являются как бы «кончиком хвоста» атомных законов, продолженных до очень больших размеров. Истинные законы движения частиц очень малых раз­меров весьма специфичны, но если мы возьмем большое число частиц и скомбинируем законы их движения, то приближенно, и только приближенно, получим законы Ньютона. После этого законы Ньютона позволяют нам двигаться ко все большим раз­мерам, оставаясь при этом теми же самыми законами. В сущ­ности, при переходе ко все большим и большим размерам они все точнее и точнее описывают природу. Так что факт самовос­производимости законов Ньютона — отнюдь не фундаменталь­ное свойство природы, а важная историческая особенность.

Основываясь на своих первых наблюдениях, мы никоим обра­зом не смогли бы открыть фундаментальные атомные законы, поскольку наблюдения эти были слишком грубыми. Действи­тельно, фундаментальные атомные законы, которые мы назы­ваем квантовой механикой, так сильно отличаются от законов Ньютона, что понять их не просто. Ведь у нас есть только опыт обращения с телами больших размеров, а крохотные атомы ведут себя совершенно невиданным для таких тел образом. Мы не можем сказать: «Электроны в атомах напоминают планеты, крутящиеся вокруг Солнца», или что-то в этом роде. Они не похожи ни на что известное нам, ибо мы не видим ничего похо­жего на них. Если мы применяем квантовую механику ко все большим и большим объектам, то законы поведения такого кол­лектива атомов не воспроизводят поведения одного атома, а дают новый закон — закон Ньютона, который уже воспроизводит сам себя, начиная с объектов весом в 1 миллионную микрограмма, содержащих еще миллиарды и миллиарды атомов, и вплоть до тел величиной с Землю и даже еще больших.