Фейнмановские лекции по гравитации
Шрифт:
=
AB
–
AB^3
–
AB^2
–
AB^1
.
(8.1.1)
В ортогональных координатных системах эти суммы являются инвариантными скалярными величинами; хорошо знакомый частный случай представляет собой суммирование, которое определяет собственное время в специальной теории относительности
(ds)^2
=
(dt)^2
–
(dx)^2
–
(dy)^2
–
(dz)^2
.
(8.1.2)
Для более общих координатных систем, рассматриваемых нами теперь,
dx'
=
x'
x
dx
.
(8.1.3)
Определим векторную функцию, которая представляет собой набор четырёх переменных, которые имеют характер координатных смещений и преобразуются таким же самым образом, как мы меняем координаты
A
(x')
=
x'
x
A
(x)
.
(8.1.4)
Мы называем величины A контравариантными компонентами вектора. Мы можем очень легко распространить эти определения на тензоры более высокого ранга; например, тензор есть функция, которая преобразуется таким же самым образом, как и скалярное произведение двух векторов, т.е.
T
(x')
=
x'
x
x'
x
T
.
(8.1.5)
Когда мы сравниваем закон преобразования для метрического тензора с определением (8.1.5), мы видим, что g не есть величина такого же рода, так как производные появляются в ”перевёрнутом виде”. Тем не менее, мы определили матрицу, которая является обратной к матрице g,
g
g
=
.
(8.1.6)
Нетрудно показать, что эта обратная матрица на самом деле составляет контравариантный тензор, так что и надлежит записывать его с двумя индексами, как мы и предчувствовали.
Аналогично предыдущему, нетрудно показать, что суммы
g
dx
dx
=
(ds)^2
(8.1.7)
и gAA являются скалярными инвариантами; это происходит потому, что производные появляются в правильном порядке в одном случае и в ”перевёрнутом виде” в другом случае, так что после суммирования получаются -символы Кронекера.
Это наводит на мысль, что мы можем использовать метрический тензор g Для того, чтобы определить векторные компоненты иного рода, имеющие другой закон преобразования
(а)
A
=
g
A
,
(б)
A
(x')
=
x
x'
A
(x)
,
(8.1.8)
которые мы будем называть ковариантными компонентами вектора. Скалярные инварианты, которые могут быть порождены суммированием, есть
A
B
.
(8.1.9)
При преобразованиях с индексами, которые мы проводим, будет важно следить за верхними и нижними индексами; в общем случае, будут допустимы суммирования только по одному нижнему и одному верхнему индексу. Например, в специальном случае ортогональных координат специальной теории относительности собственное время может быть теперь записано, как
(ds)^2
=
dx
dx
.
(8.1.10)
Тензор – диагональный и имеет компоненты (1,-1,-1,-1).
Всякий раз, когда векторная величина появляется в физической задаче, например векторный потенциал в электродинамике, эта величина будет появляться в качестве или ковариантного, или контравариантного вектора. Но мы можем всегда построить один из другого, используя метрический тензор; мы можем всегда опустить или поднять индексы по своему желанию, умножая на величины g или на компоненты матрицы, обратной к этой матрице. Можно построить тензоры, которые были бы частично ковариантны, частично контравариантны; такие тензоры имеют несколько верхних индексов, несколько нижних, и важно записать эти индексы таким образом, чтобы не было вопроса относительно их порядка
g
T
=
T
(8.1.11)
Для специального типа симметрических тензоров g или g мы можем ослабить это правило, так как поднятие или опускание индекса производит просто -символ Кронекера
g
g
=
=