Фейнмановские лекции по гравитации
Шрифт:
.
(8.1.12)
Мы не будем утомлять себя тем, чтобы вновь рассматривать доказательства этих соотношений, поскольку они получены много лет тому назад и могут быть найдены во множестве книг. Все они использовались Эйнштейном, который придумал эти обозначения, что упростило работу с ними, и он является ”надёжным малым” (”reliable guy”), когда придумывает подобные штуки. Перемещение индексов, поднятие их или опускание, есть нечто мнемонические, так как это соответствует перемещению индексов в производных, которые определяют эти преобразования, в соотношениях (8.1.3), (8.1.4), (8.1.5) и (8.1.8).
Нет фундаментального физического различия между ковариантными и контравариантными
Рис. 8.1.
8.2. Уравнения, определяющие инварианты g
Теперь, когда у нас есть лучшее понимание роли метрического тензора, мы можем приступить к изучению того, какие величины могут быть построены из него, причём величины, остающиеся инвариантными при инфинитезимальных координатных преобразованиях.
То, что мы собираемся сделать сейчас, в точности совпадают с тем, что мы делали некоторое время назад при построении лагранжиана. Предположим, что мы делаем небольшое изменение в координатах
x
=
x'
+
(x')
,
(8.2.1)
где предполагаются, что достаточно малы, так что нам необходимо сохранять только члены первого порядка малости по . Тогда для производных справедливы следующие соотношения
x
x'
=
+
x'
.
(8.2.2)
Когда мы вычисляем новые компоненты g' мы получаем произведение двух таких производных
g'
(x')
=
g
(x'+)
+
x'
+
x'
.
(8.2.3)
Если мы оставляем только члены нулевого порядка и первого порядка малости по , то получаем
g'
(x')
=
g
(x')
+
g
x'
+
g
x'
+
g
x'
.
(8.2.4)
Новые компоненты g' равны старым компонентам g плюс некоторые члены порядка Когда теперь мы спрашиваем, какие функции g допускаются, если настаиваем, чтобы их форма осталась инвариантной, мы видим, что мы приходим к той же самой задаче, которую решили в лекции 6. Математическая задача является той же самой как и тогда, когда мы пытались найти лагранжиан, который приводил к сохраняющемуся тензору энергии-импульса.
Таким образом, имеется более чем одна точка зрения, которая приводит к одному и тому же уравнению и которая имеет то же самое физическое содержание. Мы обнаружили, что преобразование, которое возникло тогда, когда мы искали лагранжиан для гравитации, появляется также в решении чисто геометрической задачи. Мы предполагаем, следовательно, что некоторые физические и геометрически звучащие критерии эквивалентны; самосогласованность предыдущего подхода, к которому мы пришли, исходя из требования равной нулю дивергенции, должна быть эквивалентна тому условию, которое мы накладываем сейчас. В чем состоит физическая значимость инвариантов g?
Уравнения движения могут быть выведены из вариационного принципа
ds
=
g
(x)
dx
dx
1/2
=
0.
(8.2.5)
Эти вычисления могут быть проведены до конца путём введения параметра u так что квадратный корень под интегралом становится более точно определённой величиной
du
g
(x)
dx
du
dx
du
1/2
.
(8.2.6)
Когда решение вариационной задачи проведено до конца, получается следующее уравнение геодезических
d^2x
ds^2
=-
dx
ds
dx
ds
,
(8.2.7)
где
=
g
[,]
.
Так как вид этого уравнения остаются неизменным при изменении метрического тензора при произвольном преобразовании, то эти уравнения должны быть инвариантами метрики g, которая содержит в себе физику данной проблемы.
8.3. О предположении, что пространство есть в точности плоское
Давайте попробуем обсудить, что мы узнали при выяснении того, что различные подходы, которые мы использовали, приводят к одним и тем же результатам. Точка зрения, которой мы до сих пор придерживались, состоит в том, что пространство описывается как пространство специальной теории относительности, которое для удобства мы будем называть галилеевым. В таком галилеевом пространстве могут существовать гравитационные поля h, которые приводят к тому, что линейки меняются в своей длине и скорости хода часов увеличиваются или уменьшаются. Так что говоря о результатах экспериментов мы вынуждены делать различия между масштабами действительных измерений, физическими масштабами и масштабами, с использованием которых написана эта теория, т.е. галилеевыми масштабами.