Фейнмановские лекции по гравитации
Шрифт:
Рис. 9.1.
Как кривизна появляется при рассмотрении переноса вектора, остающегося параллельным самому себе при перемещении его по поверхности, хорошо иллюстрируется в сферической геометрии. Мы будем представлять себе, что мы переносим маленький вектор с северного полюса по меридиану до экватора, затем вдоль экватора на угол и возвращаем его назад на северный полюс, как показано на рис. 9.1, причём всегда переносим вектор таким образом, чтобы он оставался параллельным самому себе и был направлен на юг. Когда мы возвращаем вектор назад на северный полюс, мы видим, что наш вектор повернулся на угол . Кривизна K поверхности определяется
=
(Площадь внутри замкнутой кривой)
·
K
.
(9.3.1)
Для случая треугольника на сферической поверхности этот угол в точности есть превышение (над величиной 180°) суммы углов треугольника. Для сферической поверхности эта кривизна просто равна 1/R^2.
Обобщённое определение кривизны многомерной поверхности будет даваться через изменение вектора при его переносе вдоль замкнутой кривой, причём при таком переносе, который оставляет вектор параллельным самому себе. Так как ориентация траектории, лежащей на определённой плоскости, зависит от двух осей координат, то мы видим, что кривизна в общем случае является тензором четвёртого ранга. В трёхмерном пространстве мы могли бы разбить сферическую поверхность проведением ”радиально” внешней части от точки для заданного измеренного расстояния вдоль наикратчайших измеренных траекторий (геодезических). Компоненты кривизны вдоль различных направлений должны бы соответствовать незначительному отклонению от 2 длин больших кругов сферической поверхности.
Наглядное представление понятия кривизны на языке более простого пространства, погружённого в пространство с более высокой размерностью, требует введения одного дополнительного измерения для каждого независимого компонента метрического тензора. Для двумерных пространств имеется три компонента метрики, и отсюда следует, что достаточно трёх измерений. Для трёх измерений метрический тензор имеет шесть независимых компонентов и для четырёх измерений имеется десять независимых компонентов.
Определение компонентов кривизны на языке изменения вектора при переносе его вдоль траектории является более общим, чем определение через дефекты в окружностях, которое не воспроизводит все признаки кривизны.
Рис. 9.2.
Связь со второй ковариантной производной может быть легко вычислена, когда мы рассматриваем последовательные перемещения вектора, сохраняя его параллельным самому себе. Так как мы проходим вдоль траектории на рис. 9.2, разность в этом векторе, получающаяся при прохождении вдоль этой траектории, должна быть
^2
A
=
R
A
x
x
.
(9.3.2)
Так как кривизна есть тензор, антисимметричный по индексам (,), билинейные произведения xx могут быть заменены на величину 1/2 (xx– xx), которые являются половиной компонентов площади параллелограмма. Индексы тензоров имеют значение, которое нетрудно описать словесно; если мы рассматриваем перемещение векторов вдоль небольшой петли в плоскости , компонент вектора меняется на величину, пропорциональную сумме по другим компонентам A, RA и площади петли.
Мы уже очень много говорили о перемещении вектора параллельно самому себе, не делая это понятие математически определённым. При использовании более интуитивных терминов, это просто означает, что мы переносим конец стрелки и основание стрелки на некоторое равное смещение так близко, как только мы можем вдоль прямой линии, которая есть геодезическая. Математическое определение может быть наилучшим образом понято путём рассмотрения уравнения геодезических
d^2x
ds^2
=-
dx
ds
dx
ds
.
(9.3.3)
Ясно, что вектор (dx/ds) вдоль геодезической представляет тангенциальную скорость t вдоль геодезической, которая есть "физическая” прямая линия. Вторая производная (d^2x/ds^2) представляет собой изменение этой скорости за интервал времени s
s
d^2x
ds^2
=
t
=-
t
x
.
(9.3.4)
Это изменение пропорционально самому вектору t и перемещениям x. Определение параллельного переноса аналогично; мы говорим, что вектор A' есть результат переноса параллельно самому себе
A'
=
A
+
A
,
где
A
=-
A
x
.
(9.3.5)
Легко может быть показано, что когда мы перемещаем множество векторов вдоль замкнутой кривой, перемещал каждый из них параллельно самому себе, соотношения между векторами не меняется, так что целое пространство, определённое множеством векторов, поворачивается при движении вдоль петли, это задаёт полное изменение, вызванное перемещениями. Доказательство этого утверждения состоит в проверке того, что все инвариантные скаляры
B
A
g
,
(9.3.6)
остаются неизменными. Это означает, что длины векторов и углы между векторами сохраняются. Единственное преобразование, которое допускает это, выглядит как поворот целого пространства.
Рис. 9.3.
Возможно, что топологические свойства пространства не полностью определяются локальной кривизной. Например, мы получили, что длины векторов сохраняются и углы между векторами сохраняются, когда мы переносим пространство параллельно самому себе. Всё же нет гарантии, что для длинной замкнутой траектории отражение недопустимо, также как и вращение. Двумерный пример таких отражений (например, неориентируемая поверхность) имеет место в ленте Мёбиуса (рис. 9.3). Если мы возьмём два вектора, один из которых параллелен, другой перпендикулярен центральной линии ленты Мёбиуса, и обойдём один раз ленту, двигаясь налево от вертикальной пунктирной линии, показанной рис. 9.3, то пространство не переходит само в себя, а испытывает отражение, обусловленное ”скрученностью” поверхности, а не просто поворот.