Фейнмановские лекции по гравитации
Шрифт:
ABCD
dx'
dy'
dz'
dt'
=
– g
dx'
,
(10.1.5)
где g'=Det g'. Если мы делаем ортогональные преобразования, то dx=dx' и также определитель Det g равен Det g'. Таким образом, общее выражение для инвариантного элемента объёма есть
– g
dx
.
(10.1.6)
Величина -g есть скалярная плотность. Это означает, что её изменение при координатном
– g'
=
x
x'
– g
.
(10.1.7)
Тензор кривизны появляется тогда, когда мы вычисляем вариацию величины Sg по отношению g
Sg
g
=
1
2^2
– g
R
–
1
2
g
R
.
(10.1.8)
Это происходит из-за того, что мы можем использовать интеграл от R как действие гравитационной части полной задачи.
Позвольте мне отметить, что поскольку этот тензор давления появляется при таком подходе из вариационного принципа, его ковариантная дивергенция с необходимостью равна нулю (это утверждение впервые, я считаю, было отмечено Эддингтоном). Мы увидели эту связь с другого направления, заключающегося в том, что мы могли бы вывести вариационный принцип при условии, что мы исходим из тензора с нулевой дивергенцией. Доказательства, которые мы предлагаем, не являются строгими; мы не беспокоимся о строгости, поскольку факты составляют существо дела, а не их доказательства. Физика может развиваться без доказательств, но мы не можем продолжать развивать теорию без фактов. Доказательства полезны в том смысле, что они являются хорошими упражнениями; если факты верны, тогда доказательства являются предметом игры с корректным использованием алгебры.
Мы хотим показать, что если функционал
S
g
=
dx
[g
]
,
(10.1.8')
есть инвариант при координатных преобразованиях, тогда ковариантная дивергенция вариации Sg по отношению g тождественно равна нулю. Делая инфинитезимальное преобразование и переходя к штрихованным координатам x– >x',
x
=
x'
+
h
(x')
,
(10.1.9)
изменение g задаётся соотношением
g
– >
g'
(x')
=
g
(x')
+
h
,
g
(x')
+
h
,
g
(x')
+
+
h
g
,
(x')
.
(10.1.10)
Выражая действие в новых координатах, опуская штрихи у переменных, по которым ведётся интегрирование, инвариантное действие выражается в виде
S
g
=
dx
[g'
]
=
dx
[g
]
+
+
dx
g
(
h
,
g
+
h
,
g
+
h
g
,
).
(10.1.11)
Когда мы производим интегрирование по частям второго слагаемого в правой части этого выражения, мы преобразуем его к выражению, которое включает в себя функциональные производные функции . Мы кладём его равным нулю, так как мы знаем, что изменение в действии должно быть равно нулю при любом h вследствие вида функции
x
g
g
–
1
2
g
g
x
=
0.
(10.1.12)
Обозначим G вариацию величины 2^2Sg по отношению к g:
G
=
2^2
Sg
g
.
(10.1.13)
Величина G есть контравариантная тензорная плотность второго ранга. Используя это определение, уравнение (10.1.12) можно переписать в виде
g
G
,
–
1
2
g
,
G
=
0,
(10.1.14)
которое эквивалентно утверждению, что ковариантная дивергенция G равна нулю
G
;
=
0.
(10.1.15)
Для демонстрации эквивалентности некоторых соотношений, включающих в себя ковариантные производные, удобно использовать некоторые соотношения, которые мы приведём сейчас для того, чтобы в дальнейшем их использовать. Вначале вычислим свёрнутые символы Кристоффеля.
Используя определение, получим
=
g
[,]