Фейнмановские лекции по гравитации
Шрифт:
T
=
0
всюду и, несмотря на это,
R
/=
0.
(9.4.6)
Наиболее интересным из таких решений является решение А.Тауба. Это решение наиболее интересно, поскольку оно не зависит от времени. Тем не менее, могут быть другие решения такой задачи, так мы можем спросить, можем ли мы иметь гравитацию без того, чтобы имелись
Ответ на этот вопрос вероятно будет аналогичным ответу, который даётся на аналогичный вопрос в электродинамике. Если разрешается зависимость от времени, то уравнения допускают существование полей без источников (т.е. движущиеся волны), до сих пор мы никогда не сталкивались с физическими трудностями, предполагая, что всё наблюдаемое излучение действительно приходит от заряженных источников, которые и испускают это излучение. Можно построить статические поля, например, имеющие потенциалы
=
x,
=
x^2
+
y^2
–
2z^2
,
(9.4.7)
которые являются бездивергентными, а потому не имеют источников. Обычная интерпретация таких решений состоит в том, что такие поля вызываются зарядами, лежащими вне некоторого объёма, внутри которого соотношения (9.4.7) оказываются справедливыми, и для этого требуется всё большее и большее количество заряда, находящегося вне рассматриваемой области для того, чтобы сделать такого рода решения приемлемыми, когда мы пытаемся увеличить объём, в котором выполнены приведённые выше решения.
Не проверяя в деталях решения А. Тауба, я полагаю, что он столкнулся с аналогичной ситуацией. Для того, чтобы объяснить наличие кривизны в отсутствии материи, мы должны взять предельный случай решений, которые имеют ясную физическую интерпретацию на малых областях, и затем разрешить этим областям стать бесконечно большими. Цена, которая при этом должна быть заплачена, состоит в том, чтобы неограниченно отсрочить объяснение растущего количества "внешней” материи, которая нам требуется.
Лекция 10
10.1. Полевые уравнения гравитации
Мы нашли тензор, называемый тензором кривизны, который определяется исходя из того, что происходит, когда мы переносим векторы по некоторой замкнутой кривой в нашем пространстве. Поскольку эта величина является тензором, мы можем использовать её для того, чтобы образовать величины, которые должны быть использованы при написании ковариантных уравнений. Мы не получили никакой физики, просто записывая эти уравнения, тем не менее, мы должны точно определить связь этих уравнений с реальным материальным миром. То, что сделал Эйнштейн, состоит в том, что он попросту предположил, что такая связь есть. Не существует способа вывести эту связь из более фундаментальных принципов. Каждая возможная гипотеза имеет свои характерные свойства, поэтому возможно для более позднего исследователя предположить наличие некоторого критерия, который бы делал выбор единственным, но это по сути дела некий обман.
Некоторая подсказка, которая может помочь нам, состоит в том, что гравитация взаимодействует с плотностью энергии, так что поскольку плотность энергии в теории относительности есть компонент (44) тензора второго ранга, то в уравнениях нам необходимо иметь тензор второго ранга. Кривизна является тензором четвёртого ранга, так что мы сворачиваем его (по верхнему и нижнему индексу) один раз и используем тензор Риччи. Первая гипотеза Эйнштейна состояла в том, что тензор энергии-импульса попросту равен тензору Риччи ^2T=R. Тем не менее, возможен другой выбор; мы можем добавить к тензору Риччи метрический тензор, умноженный на скалярную кривизну (свёрнутый тензор Риччи). Таким образом, получаем то, что в конце концов выбрал Эйнштейн:
R
–
1
2
g
R
=
^2T
.
(10.1.1)
Существует хороший аргумент в пользу того, почему такой выбор лучше. Если мы вычислим ковариантную дивергенцию уравнения (10.1.1), то ответ состоит в том, что эта величина тождественно равна нулю. Это означает, что закон сохранения энергии есть попросту следствие вида уравнения (10.1.1). Если мы положим тензор энергии-импульса равным только вектору Риччи (а не тензору Эйнштейна), то закон сохранения энергии был бы тогда физическим постулатом, который принёс бы больше информации и привёл бы к меньшей свободе. В действительности выбор метрических тензоров не является однозначным; когда мы работаем с ними, у нас есть возможность свободы выбора четырёх функций, соответствующих четырём функциям, которые описывают общее преобразование, задающее новые координаты через старые. Так как закон сохранения энергии есть тождество, то выбор четырёх функций в метрике является полностью свободным.
Насколько хорошо выбор Эйнштейна соответствует Природе? Как мы получаем тензор T и каково значение этих уравнений и кривизны? Для того, чтобы ответить на эти вопросы, мы поработаем с этими уравнениями некоторое время. Прежде всего мы попытаемся понять связь этих уравнений с остальной физикой и с вариационными принципами.
Для того, чтобы записать принцип действия в релятивистском виде, нам необходим интеграл, который есть скалярный инвариант. Мы выбираем, что действие для гравитационного поля есть
S
g
=-
1
2^2
dx
R
– g
.
(10.1.2)
В тех выражениях, которые мы выписываем, мы обозначаем dx=dxdyzdt. Действие Sg есть скаляр, поскольку R есть скаляр и -gdx есть скаляр. Мы можем показать последнее, исходя из рассмотрения того, что собственное время есть скалярный инвариант
(ds)^2
=
g
dx
dx
.
(10.1.3)
Вследствие того, что g есть симметричный тензор, мы всегда можем ввести вращение таким образом, что тензор будет диагональным; в этом случае
(ds)^2
=
D(dt)^2
–
C(dz)^2
–
B(dy)^2
–
A(dx)^2
.
(10.1.4)
Отсюда мы видим, что элемент объёма dx не является инвариантом; должным образом выбранный инвариантный элемент объёма есть