Фейнмановские лекции по гравитации
Шрифт:
0.01
1100
8.45
8.45
0.10
114
6.23
6.19
0.20
59
4.71
4.62
0.40
36
3.13
2.97
0.60
28
2.39
2.19
1.00
32
1.87
1.66
Когда мы берём температуру выше, чем 10 градусов, мы должны остерегаться попыток использования таких решений, поскольку новые физические процессы, которые имеют место при столь высоких температурах, могут сделать наше уравнение состояния полностью неадекватным. Например, если нейтринные пары могут рождаться при электрон-электронных столкновениях, они могут уносить большое количество энергии, так что наши приближения могут быть полностью несправедливыми. Может оказаться, что такие процессы будут важны при температуре 10
14.3. Некоторые численные результаты
Предварительные вычисления дали результаты, приведённые в таблице 14.1, для заданной величины при изменении только температуры в центре. В таблице приводятся значения температуры в центре tc, радиуса r, массы звезды m и ”число нуклонов N”. Что же интересного можно сказать об этих величинах? Для того, чтобы понять, что происходит с заданной звездой, мы могли бы спросить, какая последовательность значений радиуса и центральной температуры соответствует одному и тому же числу нуклонов, если полная энергия на один нуклон падает. Мы ожидаем, что это может моделировать ситуацию в звезде, в которой излучение медленно уносит энергию. Числа в таблице не дают в достаточной степени полное представление, так чтобы мы могли быть в этом уверены, тем не менее, мы видим, что энергия на нуклон уменьшается при уменьшении температуры в центре; это есть действительно описание того, что звезда охлаждается, если она излучает энергию.
Будут ли такие звёзды самопроизвольно ”размазываться” по пространству? Устойчивость нашей звезды ещё не изучена. В рамках того же самого решения вычисления, которые приводят к одному и тому же числу нуклонов и одному и тому же значению , могут сравниваться как по значениям радиуса, так и по значениям температуры в центре. Факт, что очевидно имеется минимум значения r при значениях температуры в центре где-то между 0.4 и 1.0, заставляет задуматься; звезда может иметь устойчивое решение. Другой способ изучения устойчивости состоит в том, чтобы рассмотреть "взрывы”. Предположим, что мы вычисляем полную энергию числа N нуклонов с определённой энтропией на нуклон, т.е. определённым значением , и затем разламываем эти нуклоны на две звезды с одним и тем же значением , сохраняя сумму N постоянной. Можем ли мы получить работу из этого процесса или мы должны затратить работу для того, чтобы получить конфигурацию из двух звёзд? Предполагается, что величина является той же самой, поскольку считается, что всё вещество двигается вместе из одной и той же начальной конфигурации. Можем ли мы найти какую-нибудь информацию о таком процессе, основываясь на приводимых выше числах? Если N уменьшается, мы находим, что избыток массы увеличивается. Это означает, что два объекта с меньшими значениями N могут быть более массивными, поэтому требуется работа для того, чтобы разделить такую систему. Это наводит на мысль, что звезда может не выбрасывать вещество, а сохранять его в одном коме.
Предшествующие рассмотрения также показали нам, что звёзды, которые следуют описанию в нашей модели, не могут на самом деле сформироваться; все они обладают большей энергией, чем энергия покоя нуклона, следовательно, требуется некоторая энергия для того, чтобы собрать их вместе.
Один из фактов, который мы можем обнаружить, состоит в том, что в любом случае поправки, обусловленные обшей теорией относительности, являются значительными и очень важными. В каком направлении электронные пары будут изменять наше решение? Они стремятся сделать звезду более похожей на такую, в которой в центре становится теплее при том, что электроны способствуют охлаждению внешней части звезды.
Должны ли мы всегда волноваться по поводу гравитационного радиуса? Мы написали наши уравнения таким образом, что m(r)=0 в начале координат, и масса увеличивается при увеличении r. Если мы всегда получаем столь большие массы такие, что почти выполняется равенство 2m(r)=r, то наше дифференциальное уравнение (14.1.10г) показывает, что вблизи критического значения величины r величина t должна была бы логарифмически стремиться к -. Таким образом, перед тем, как мы дойдём до такой точки, что температура упала бы до нуля, мы в нашей схеме должны были бы остановиться в этой точке. Тем не менее, численные результаты для массы и радиуса оказываются настолько далёкими от критических значений, что возможно у нас нет нужды в настоящее время беспокоиться по поводу этой проблемы.
14.4. Планы и предположения для дальнейших исследований сверхзвёзд
Имеется другое математическое определение проблемы звёзд, которое может быть пригодно для изучения. Мы получили, что полное число нуклонов в звезде задаётся соотношением
N
=
4
r
0
sr^2dr
1-2m/r
,
(14.4.1)
где
m
=
4
r
0
dr'
r'^2
,
и плотность =(s) известна через постулированное уравнение состояния, такое как наш ”адиабатический” закон
s
d
s
=
p
+
.
(14.4.2)
Задача определения равновесия состоит в том, чтобы определить конфигурацию с минимальной массой, исходя из заданного числа нуклонов. Мы можем получить такую же информацию, фиксируя значение массы и задавая вопрос о максимальном значении нуклонов. Математическая формулировка состоит в вариационном дифференциальном функциональном уравнении
N
s(r)
=
0.
(14.4.3)
Если мы справляемся с решением этого уравнения, мы получаем экстремальные решения s(r). Весьма приятно для меня чувствовать, что даже очень сложные проблемы пытаются выглядеть просто, будучи выраженными на языке соответствующим образом выбранных принципов! Мы найдём решения с минимальной массой, если экстремум N[s(r)] действительно является максимумом.
После того, как у нас будут исследованы статические решения, мы можем обратить наше внимание к полной динамической задаче. Дифференциальные уравнения выглядят устрашающе. По мере того, как мы рассматриваем их чудовищно сложную структуру и начинаем делать сравнения с классическим пределом, значение многих членов становится более очевидным. В наипростейшем случае газовой динамики уравнения описывают распространение звука в неоднородной среде; это нелинейный звук, так что в среде могут образовываться ударные волны и т.д. Не вызывает удивления то, что объект нашего исследования настолько сложен. Наиболее простая модель исследований может касаться небольших колебаний в окрестности статических решений; действительные частоты обозначали бы то, что наши предыдущие решения, однажды сформировавшись, были бы на самом деле устойчивыми, и мнимые частоты говорили бы нам о том, что наши решения были бы неустойчивыми.
Усовершенствованные вычисления нуждаются также в лучших выражениях для "физической” стороны уравнений. Что происходит, если мы учитываем испускание нейтрино из центра звезды? Будет ли происходить падение вещества к центру в этом случае или происходит что-либо другое? В случае, когда звезда является в большой степени релятивистской, тогда эти нейтрино могут уносить большую часть полной энергии и, таким образом, могут привести к существенному уменьшению гравитационного притяжения. Классическая теория звёзд основана на довольно прочном основании, когда масса покоя частиц определяет почти полностью значение энергии. В этом случае уносящаяся из центра звезды энергия приводит к дальнейшему коллапсу, что ведёт к тому, что центр звезды становится горячее. Если центр становится горячее, то ядерные реакции доставляют больше энергии, которая должна быть унесена, чтобы звезда осталась устойчивой. Если же центр становится настолько горячим, что горение ядерного топлива производит энергии больше, чем может быть унесено из звезды, ситуация становится неустойчивой и звезда взрывается. В сильно релятивистском случае, тем не менее, новые качественные признаки начинают появляться, когда энергия излучения составляет большую часть полной массы. Здесь, когда центр звезды ”охлаждается” потерей энергией, энергия, соответствующая притяжению звезды, становится меньше, поскольку существенная часть массы уносится. Таким образом, может быть так, что для достаточно большой массы, может не быть процессов, приводящих ко взрыву.
Я полагаю, что решения данной задачи покажут, что для масс, больших, чем несколько единиц, умноженных на 10 солнечных масс, сферически симметричные решения для конденсирующейся материи не приводят к коллапсу, но ”сортируют грязь”, влетающую в звезду и вылетающую из звезды, в окрестности определённого наиболее предпочтительного значения радиуса. Обычные процессы звёздной эволюции могут иметь место, если распределение становится несферическим. Двигаясь в этом направлении, потом возможно мы сможем найти объяснение тому факту, что оказывается, что все видимые звёзды имеют почти одинаковый размер. Решение полной динамической задачи может привести нас к тому, чтобы понять, как вещество, однородно распределённое, может начать конденсироваться симметричным образом, и тогда в определённой точке оказывается предпочтительным формирование сгустков, которые могут конденсироваться дальше. Результаты могут оказаться очень высоко чувствительными к любому количеству углового момента, которым первоначально обладает конденсирующаяся масса. Например, планеты содержат почти 95% полного углового момента нашей Солнечной системы. Может быть так, что конденсирующая масса может сформировать шары, к которым переносится большая часть углового момента.