Физика пространства - времени
Шрифт:
Этим вычислением и завершается вывод формул преобразования Лоренца (16).
Роль преобразования Лоренца
Новый — ковариантный — подход имеет дело с компонентами пространственно-временного интервала — координатами x, t (16), а не с величиной самого интервала (15). Язык интервалов подобен универсальному языку: любой интервал одинаков для наблюдателей во всех системах отсчёта. Напротив, компоненты взаимного удаления событий в пространстве-времени, измеренные в одной системе отсчёта,— это весьма частный язык для выражения такого удаления. По своей форме этот язык похож на тот частный язык, с помощью которого та же удалённость описывается в другой системе отсчёта. Ведь в обоих языках фигурируют
Аналогия: землемеры пользуются преобразованием эвклидова пространства
Подобный же словарь необходим и при гораздо более обычных обстоятельствах. Дневной землемер, определяющий север по магнитному компасу, может перевести на свой язык измерения северной и восточной координат, сделанные ночным землемером, ориентирующимся по Полярной звезде. Но не потребуется никакого словаря, если они будут сравнивать свои результаты, выраженные на универсальном языке расстояний. Бросается в глаза различие между двумя методами — исходящим из инвариантов (расстояния — универсальный язык) и использующим компоненты (северную и восточную координаты, величины которых, определённые разными наблюдателями, различны). Эту противоположность инвариантных и ковариантных величин иллюстрирует рис. 26.
Рис. 26. Ковариантный подход к геометрии использует компоненты величин, например компоненты вектора OA. (Напротив, в инвариантном подходе используются длины, например длина OA. Такие длины имеют численные значения, не зависящие от выбора системы отсчёта. Иначе говоря, любая длина одинакова независимо от того, кто её определяет — землемер, определяющий направление на север по Полярной звезде, или землемер, пользующийся магнитным компасом).
Пусть в одной системе значения компонент равны (x,y)=(7,6), а в другой системе — (x',y')=(2,9). (Эти числа соответствуют нашему чертежу). Очевидно, что значения компонент в двух системах отсчёта различны. В самом деле, они связаны законом «ковариантного преобразования» x =
4
5 x' +
3
5 y' , y =-
3
5 x' +
4
5 y' ,
который в частном случае вектора OA записывается в виде 7 =
4
5 •2 +
3
5 •9 , 6 =-
3
5 •2 +
4
5 •9 ,
Приведённые здесь конкретные численные значения коэффициентов в законе преобразования связаны с тем конкретным поворотом, который изображён на чертеже.
В притче о землемерах студент сделал, как теперь обнаруживается, лишь полдела. Он выяснил, как должен каждый землемер переводить свои результаты на универсальный язык расстояний:
(Расстояние)
^2
=
(
x)^2
+
(
y)^2
=
=
(
x')^2
+
(
y')^2
.
Однако он не сформулировал того словаря, который необходим для перевода с дневного на ночной язык и обратно величин компонент. Конечно, выводы студента были ценными, но ведь случается же, когда дневной землемер должен знать не только величину расстояния OA, но и конкретные координаты (x,y) этого отрезка. При этом может оказаться, что по воле судеб ему недоступно прямое измерение этих компонент. Тогда в его распоряжении будут лишь данные о компонентах (x',y'), полученные при измерении OA его коллегой — ночным землемером. Как же ему перевести имеющиеся в его распоряжении числа (x',y') на его «язык» и получить требуемые (x,y)? Каким должен быть словарь? И что должен он знать, чтобы быть в состоянии этот словарь составить? Вот ответ.
Эвклидово преобразование поворота координатных осей
Подобно тому, как для построения формул преобразования Лоренца, переводящих (x',y') в (x,y), необходимо знать относительную скорость движения двух систем отсчёта r, для перевода компонент (x',y') в (x,y) требуется знать величину наклона Sr прямой Oy' относительно прямой Oy. В примере, изображённом на рис. 26, наклон оси Oy' к оси Oy равен Sr=^3/. Это значит, что при перемещении вверх по оси y на 4 единицы необходимо сдвинуться от неё вправо на 3 единицы, чтобы оказаться на оси y'. Если выразить через величину наклона Sr формулу преобразования поворота, мы получим
x
=
x'
1+Sr^2
+
Sry'
1+Sr^2
,
y
=-
Srx'
1+Sr^2
+
y'
1+Sr^2
.
(19)
Доказательство.
Рис. 27. Представление произвольного вектора как геометрической суммы двух векторов, направленных соответственно вдоль осей y' и x'. Это представление использовано при выводе уравнений (19) закона преобразования поворота (см. текст).
1. Произвольный вектор (x',y') может рассматриваться (см. рис. 27) как сумма вектора (x',0), направленного вдоль оси x', и вектора (0,y'), направленного вдоль оси y'. Для общего доказательства справедливости формул (19) достаточно удостовериться в том, что они верны по отдельности для этих двух векторов.
2. Вектор, направленный вдоль оси y' и имеющий длину y' обладает относительно осей x и y компонентами, относящимися друг к другу как Sr по определению «наклона». Итак,
x
y
=
S
r
,
или
x
y
^2
=
S
r
^2
,
или
(
x)^2
=
S
r
^2
·
(
y)^2
.
3. Расстояние от начала координат до конца вектора имеет одну и ту же величину в обеих системах координат:
(
x)^2
+
(
y)^2
=
(
x')^2
+
(
y')^2
,
или
S
r
^2
(
y)^2
+
(
y)^2
=
0
+
(
y')^2
,
или
(
y)^2
=
(y')^2
1+Sr^2
,
или, наконец,
y