Чтение онлайн

на главную

Жанры

Физика пространства - времени
Шрифт:

^2)^1

/

^2

x'

+

r

(1-

r

^2)^1

/

^2

t'

,

t

=

r

(1-

r

^2)^1

/

^2

x'

+

(1-

r

^2)^1

/

^2

t'

.

Как станет выглядеть эта пара уравнений, если мы выразим в ней скорость r через «улучшенную» характеристику движения r? Ответ таков. Вспомним, что скорость

и параметр скорости связаны между собой соотношением

r

=

th 

r

.

Отметим, что коэффициенты в формулах преобразования Лоренца зависят от r и тем самым от r. Эти коэффициенты равны

(1-

r

^2)^1

/

^2

=

(1-th^2

r

)^1

/

^2

(30)

и

r

(1-

r

^2)^1

/

^2

=

th 

r

(1-th^2

r

)^1

/

^2

.

(31)

Полученные выражения на первый взгляд довольно сложны. Тем не менее они вполне определённы. Мы знаем, как найти величину th r для любого заданного значения r (см. рис. 31 и сопровождающие его рассуждения). Знание величины th r позволяет нам вычислить выражения (30) и (31) с любой желаемой степенью точности для любого наперёд заданного значения параметра скорости. Эти две функции r настолько важны, что каждая из них получила своё собственное название в теории гиперболических функций. Если мы примем стандартные названия для этих функций, то это никоим образом не повлияет на наши возможности определять величины этих функций в любом интересующем нас случае без использования каких-либо руководств или справочников, своими собственными силами. Поэтому мы примем и будем в дальнейшем употреблять следующие стандартные названия:

(1-th^2

r

)^1

/

^2

=

ch 

r

=

=

(Косинус гиперболический

r

),

th 

r

(1-th^2

r

)^1

/

^2

=

sh 

r

=

=

(Синус гиперболический

r

),

Это названия, и не более чем названия! Используя их, мы найдём, что формулы преобразования Лоренца принимают вид

x

=

x'

ch 

r

+

t'

sh 

r

,

t

=

x'

sh 

r

+

t'

ch 

r

.

(32)

Преобразование Лоренца, выраженное через параметр скорости

Отсюда мы заключаем, что связь между старыми и новыми координатами приобретает наиболее простой вид, когда коэффициенты преобразования выражаются как гиперболические функции параметра относительного движения r систем отсчёта. Более того, будучи выражены с помощью гиперболических синуса и косинуса, формулы преобразования

Лоренца ещё больше, чем ранее, напоминают стандартный тригонометрический вид (29) формул преобразования поворота.

Как можно лучше уяснить себе и прочувствовать свойства фигурирующих в преобразовании Лоренца гиперболических функций? Два самых интересных и существенных их свойства вытекают непосредственно из определений (30) и (31). Во-первых, отношение

sh r

cs r

=

th 

r

(33)

совершенно аналогично соответствующему отношению для тригонометрических функций. Во-вторых, разность квадратов двух гиперболических функций равна

ch^2

r

sh^2

r

=

1

1-th^2r

th^2r

1-th^2r

=

=

1-th^2r

1-th^2r

=

1.

(34)

Сопоставьте эту формулу с аналогичным соотношением для тригонометрических функций:

cos^2(угол)

+

sin^2(угол)

=

1.

(35)

Сравнение тригонометрических и гиперболических функций1)

1 Авторы здесь и в других местах вместо термина «тригонометрический» говорят «круговой». Действительно, тригонометрические функции, как это видно из дальнейшего обсуждения, тесно связаны с простейшей кривой второго порядка — окружностью, тогда как гиперболические функции связаны со свойствами другой кривой второго порядка, гиперболы. Поэтому между ними много общего. Однако в переводе мы пользуемся более принятым в отечественной литературе термином «тригонометрический».— Прим. перев.

Уравнения (34) и (35) допускают простую геометрическую интерпретацию. Отложим на рис. 32 по вертикальной оси функцию «косинус», а по горизонтальной оси — функцию «синус» (одного и того же аргумента). Уравнение (35) тогда описывает окружность единичного радиуса, и поэтому тригонометрические функции можно называть «круговыми». Напротив, уравнение (34) описывает при аналогичном построении гиперболу (рис. 33), и поэтому мы говорим о «гиперболических функциях». Знак «плюс» в соотношении cos^2+sin^2=1 происходит от того, что для получения квадрата длины вектора нужно сложить его x- и y- компоненты, возведённые в квадрат. Почему же в соотношении ch^2-sh^2=1 фигурирует знак «минус»? Потому, что квадрат пространственно-временного интервала определяется как разность квадратов удалённостей событий во времени и в пространстве.

Рис. 32. Тригонометрические функции: график связи между косинусом и синусом — окружность. Пример: (3/5)^2+(4/5)^2=1

Рис. 33. Гиперболические функции: график связи между гиперболическими косинусом и синусом — гипербола. Пример: (5/3)^2-(4/3)^2=1

Проверка того факта, что преобразование поворота в эвклидовой геометрии оставляет неизменной длину

Разные знаки в соотношениях cos^2+sin^2=1 и ch^2-sh^2=1 связаны с различием между понятиями длины в эвклидовой геометрии и интервала в лоренцевой геометрии. Рассмотрим по очереди более подробно и ту и другую геометрии с этой точки зрения. Удостоверимся вновь в том факте, что в эвклидовой геометрии ковариантное преобразование координат (29), выраженное теперь не через величину наклона, а через тригонометрические функции, обеспечивает выполнение инвариантности длины. Для этого вычислим в штрихованных координатах квадрат длины:

Поделиться:
Популярные книги

Кодекс Крови. Книга VIII

Борзых М.
8. РОС: Кодекс Крови
Фантастика:
фэнтези
попаданцы
аниме
5.00
рейтинг книги
Кодекс Крови. Книга VIII

Камень

Минин Станислав
1. Камень
Фантастика:
боевая фантастика
6.80
рейтинг книги
Камень

Партиец

Семин Никита
2. Переломный век
Фантастика:
попаданцы
альтернативная история
5.00
рейтинг книги
Партиец

Он тебя не любит(?)

Тоцка Тала
Любовные романы:
современные любовные романы
7.46
рейтинг книги
Он тебя не любит(?)

Бестужев. Служба Государевой Безопасности

Измайлов Сергей
1. Граф Бестужев
Фантастика:
фэнтези
попаданцы
аниме
5.00
рейтинг книги
Бестужев. Служба Государевой Безопасности

Хозяйка брачного агентства или Попаданка в поисках любви

Максонова Мария
Любовные романы:
любовно-фантастические романы
5.00
рейтинг книги
Хозяйка брачного агентства или Попаданка в поисках любви

Возрождение Феникса. Том 1

Володин Григорий Григорьевич
1. Возрождение Феникса
Фантастика:
фэнтези
попаданцы
альтернативная история
6.79
рейтинг книги
Возрождение Феникса. Том 1

Релокант. Вестник

Ascold Flow
2. Релокант в другой мир
Фантастика:
фэнтези
попаданцы
рпг
5.00
рейтинг книги
Релокант. Вестник

Книга пяти колец. Том 3

Зайцев Константин
3. Книга пяти колец
Фантастика:
фэнтези
попаданцы
аниме
5.75
рейтинг книги
Книга пяти колец. Том 3

Идеальный мир для Лекаря 8

Сапфир Олег
8. Лекарь
Фантастика:
юмористическое фэнтези
аниме
7.00
рейтинг книги
Идеальный мир для Лекаря 8

Идеальный мир для Социопата 6

Сапфир Олег
6. Социопат
Фантастика:
боевая фантастика
рпг
6.38
рейтинг книги
Идеальный мир для Социопата 6

Камень. Книга 3

Минин Станислав
3. Камень
Фантастика:
фэнтези
боевая фантастика
8.58
рейтинг книги
Камень. Книга 3

Прометей: повелитель стали

Рави Ивар
3. Прометей
Фантастика:
фэнтези
7.05
рейтинг книги
Прометей: повелитель стали

Неудержимый. Книга XIX

Боярский Андрей
19. Неудержимый
Фантастика:
фэнтези
попаданцы
аниме
5.00
рейтинг книги
Неудержимый. Книга XIX