Физика пространства - времени
Шрифт:
а) Чему равна скорость ящика в то время, когда в нем распространяется излучение?
б) Когда излучение поглощается в противоположном конце ящика, вся система снова приходит в состояние покоя. На какое расстояние сдвинется ящик за время распространения излучения?
в) Потребуем теперь, чтобы центр масс системы сохранял положение одно и то же как до, так и после распространения излучения. Чему на основании этих соображений равен массовый эквивалент энергии, перенесённой из одного конца ящика в другой?
Ответы. а) В период, пока излучение распространяется, импульс ящика должен быть равен по абсолютной величине и противоположен по направлению импульсу p излучения. Ящик движется с очень малой скоростью , так что для нахождения его импульса достаточно применить ньютоновскую формулу M:
M
=-
p
=-
E
.
Отсюда
=-
E
M
.
б) Время распространения фотона практически равно t=L метрам светового времени. За этот срок ящик проходит расстояние
x
=
t
=-
EL
M
.
в) Если бы излучение не несло с собой массы и ящик был единственным объектом, наделённым массой, то этот сдвиг x представлял бы собой полное перемещение центра масс системы влево. Но Эйнштейн утверждал, что если центр масс изолированной системы первоначально покоился, то он не может прийти в движение или изменить своё положение. Поэтому, заключил Эйнштейн, должно произойти уравновешивающее смещение части масс системы. Этот перенос массы вправо можно понять лишь как новое свойство самого излучения. Значит, в то время, как ящик двигался влево, излучение должно было перенести вправо некоторую массу m, величина которой пока неизвестна, но такова, что обеспечивает неподвижность центра масс системы в целом. Длина пути переноса равна полной длине ящика L минус то расстояние x, на которое ящик сдвинулся за это время влево. Однако величина x меньше, чем L, в пропорции E/M. Это отношение может быть сделано сколь угодно малым при любой данной величине перенесённой энергии излучения E, если взять ящик достаточно большой массы M. Поэтому мы имеем право принять пройденное излучением расстояние равным самой величине L. Итак, со сколь угодно высокой степенью точности условие неподвижности центра масс можно записать в виде
M
x
+
mL
=
0
.
Отсюда, подставляя величину x, найденную в пункте (б), определим значение массы m:
m
=-
xM
L
=-
–
EL
M
·
M
L
.
Окончательно:
m
=
E
.
Мы пришли к выводу, что процесс излучения, распространения и поглощения энергии E эквивалентен переносу массы m=E из одного конца ящика в другой его конец. Элементарность этого вывода и фундаментальность результата делают приведённые рассуждения одними из самых интересных в физике.
Обсуждение. Существование масс-эквивалента для энергии излучения влечёт за собой существование масс-эквивалента тепловой энергии и, далее, всех прочих форм энергии, как показывает следующее рассуждение. Та энергия, которая была излучена из левой стенки ящика, могла до этого существовать там в форме тепловой энергии. Эта тепловая энергия могла перевести рядовой атом поверхности стенки в возбуждённое состояние, а затем этот атом мог вернуться с этого более высокого энергетического уровня на более низкий и в результате излучить разность энергий этих уровней в виде радиации. Этот поток энергии затем пересекает ящик, поглощается и в конце концов снова принимает форму тепловой энергии. Каким бы ни был механизм излучения и поглощения света в деталях, конечным результатом явится перенос тепловой энергии из одного конца ящика в другой его конец. Говорить, что масса должна была переместиться из конца в конец ящика при соответствующем распространении в нем излучения, значит поэтому утверждать, что масса перемещается при изменении места локализации тепловой энергии. Тепловая энергия, в свою очередь, может быть получена из химической энергии, или из энергии ядерных превращений, или из электрической энергии. Более того, образовавшаяся в правом конце ящика тепловая энергия может быть вновь превращена в любую из этих форм энергии. Поэтому все эти формы энергии, равно как и вообще все прочие её формы, эквивалентны при их переносе перемещению количества массы
m
=
E
.
Как можно подтвердить ещё идею переноса массы сгустком излучения? Мы уже знаем, что масса покоя фотона равна нулю вследствие соотношения
(Масса покоя)
^2
=
(Энергия)
^2
–
(Импульс)
^2
=
0
Рис. 107. Излучение приводит к переносу массы покоя из точки в точку, несмотря на то что масса покоя самого излучения равна нулю!
(вернитесь к анализу в этом упражнении, а также в предыдущем; см., кроме того, разд. 12). Далее, то, что верно для индивидуального фотона, остаётся верным и для сгустка излучения, состоящего из множества фотонов: энергия и импульс по абсолютной величине равны друг другу, так что масса покоя излучения с необходимостью равна нулю. Нет ли противоречия в самой основе наших рассуждений, когда мы говорим, что масса покоя сгустка равна нулю, и тут же добавляем, что этот сгусток с энергией E переносит массу m=E из одного места в другое? Источником трудности является смешение двух совершенно различных понятий: 1) энергии — временной компоненты 4-вектора энергии-импульса и 2) массы покоя — абсолютной величины этого вектора. Когда система делится на две части (распространяющееся вправо излучение и получивший отдачу влево ящик), компоненты 4-векторов энергии-импульса излучения и ящика в сумме тождественно равны соответствующим компонентам первоначального 4-вектора энергии-импульса системы до генерации излучения (рис. 107). Но при этом абсолютные величины 4-векторов (а масса покоя и есть абсолютная величина!) не аддитивны. Работая в эвклидовой геометрии, никто ведь не требует, чтобы длина одной стороны треугольника была равна сумме длин двух других его сторон. То же самое верно и в лоренцевой геометрии. Масса покоя системы (M) не может приниматься равной сумме масс покоя излучения (равной нулю) и ящика, получившего отдачу (меньшей, чем M). Но компоненты 4-векторов энергии-импульса аддитивны, например
Энергия
системы
=
Энергия
излучения
+
Энергия ящика,
получившего
отдачу
.
Мы видим отсюда, что энергия ящика, получившего отдачу, равна M-E. Уменьшилась не только энергия ящика, когда излучение отделилось от его стенки, уменьшилась также его масса покоя (см. укоротившуюся длину 4-вектора на диаграмме). Значит, излучение унесло часть массы покоя стенки ящика, хотя само это излучение и не имеет массы покоя. Результат,
Масса покоя
системы
/=
Масса покоя
излучения
(нуль)
+
Масса покоя
ящика,
получившего
отдачу
,
в геометрии пространства-времени настолько же естествен, как и неравенство 5/=3+4 в эвклидовой геометрии.
Как же обстоит дело с гравитационным притяжением, действующим со стороны нашей системы на некий пробный объект? Конечно, перераспределение масс, когда излучение распространяется слева направо, приводит к изменению такого притяжения. Но пусть пробный объект находится от системы на расстоянии r, столь значительном, что подобное перераспределение пренебрежимо мало влияет на характер притяжения. Иными словами, пусть притяжение пробного объекта единичной массы определяется только той полной массой системы M, которая фигурирует в ньютоновской формуле тяготения:
Сила, действующая
на единичную массу
=
GM
r^2
.
Если так, то не ощутит ли наш удалённый приёмник мгновенного уменьшения силы гравитационного притяжения в тот момент, когда излучение распространяется через ящик? Разве масса покоя излучения не равна нулю, тогда как масса покоя ящика, испытавшего отдачу, стала меньше первоначальной массы покоя M системы? Не стала ли, таким образом, полная тяготеющая масса меньше, чем вначале, вследствие протекающего процесса переноса? Нет! Масса покоя системы — и мы повторим это — не равна сумме масс покоя её отдельных частей. Вместо этого она равна абсолютной величине полного 4-вектора энергии-импульса системы. Но ни полный импульс системы (равный в нашем случае нулю!), ни её полная энергия ни в какой момент времени не изменяются: ведь наша система изолирована. Поэтому не меняется и абсолютная величина M полного 4-вектора энергии-импульса (рис. 107). А это в конце концов значит, что не изменяется и гравитационное притяжение.