Физика пространства - времени
Шрифт:
Пока что гравитация рассматривалась как явление локальное. Мы даже не упоминали ни о расстоянии грузиков от центра Земли, ни об ускорении относительно этого центра! Единственным ускорением, которое принималось во внимание, было ускорение соседних частиц друг относительно друга («приливные ускорения»— то же, что относительные ускорения, описанные на стр. 17). Эти относительные ускорения удваиваются при удвоении удалений. Истинная мера «приливного воздействия» имеет поэтому характер «ускорения на единицу взаимного удаления». Пусть ускорение измеряется в метрах пути на квадрат метров светового времени, т.е. в единицах м/м^2 или 1/м. Тогда мерой приливного воздействия (различного в разных направлениях) будет величина размерности
– 0,001 м
(21·10 м)^2
·
1
25 м
=-
9·10^2
м
^2
,
а в вертикальном направлении (z) она вдвое больше и имеет противоположный знак: +18·10^2 м^2. Это приливное воздействие мало, но это реальный и наблюдаемый эффект. Кроме того, это локально определённая величина, а Эйнштейн как раз говорил, что мы должны сконцентрировать своё внимание на локально определённых величинах, если хотим найти простое описание природы.
Эйнштейн говорит к тому же, что это «приливное воздействие» не требует для своего объяснения какой-то таинственной силы тяготения, распространяющейся через пространство-время и дополняющей структуру последнего. Напротив, «приливное воздействие» может и должно быть описано на языке геометрии самого пространства-времени как кривизна пространства-времени. Хотя Эйнштейн говорил о 4-мерном пространстве-времени, его понятие кривизны можно проиллюстрировать с помощью 2-мерной геометрии на поверхности сферы (рис. 137).
Рис. 137. Путешественники A и B, начав двигаться параллельно друг другу и не отклоняясь ни влево, ни вправо, обнаруживают тем не менее, что приближаются друг к другу, пройдя некоторое расстояние. Истолкование 1: действует какая-то таинственная сила «тяготения». Истолкование 2: движение происходит на искривлённой поверхности.
Притча о двух путешественниках
Первый путешественник A стоит на экваторе, готовый отправиться прямо на север. Его приятель B, стоявший плечом к плечу с A, поворачивается на 90° и направляется прямо на восток, проходит расстояние (x)=10 км по экватору, снова поворачивается на 90° и останавливается лицом к северу. После этого оба, и A, и A, начинают идти к северу и проходят по 200 км (рис. 137). Сначала их пути строго параллельны; более того, оба путешественника уверены, что каждый из них абсолютно точно выдерживает взятое им направление. Они не отклоняются ни вправо, ни влево. И тем не менее судья, посланный измерить расстояние между ними после того, как они прошли по 200 км, обнаруживает, что оно стало меньше первоначальных 10 км. Почему? Мы это прекрасно знаем: дело в том, что поверхность Земли искривлённая. Путешественники встретятся в конце концов на Северном полюсе. Обозначим широту через (=0°, cos =1 на экваторе, =90°, cos =0 на Северном полюсе). Тогда удаление одного путешественника от другого на некоторой промежуточной широте равно 10 км·cos . Для близких к экватору широт достаточно взять первые два члена разложения функции косинуса по степеням угла . Тогда мы получим для расстояния между путешественниками выражение x = (x) ·
1 -
^2
2
.
При этом угол определяется как отношение длины дуги s, пройденной с юга на север, к радиусу R земного шара: =s/R. Таким образом, уменьшение первоначального расстояния (x) определяется выражением (x) - (x) = (x) ·
^2
2 = (x) ·
s^2
2R^2 .
Если сначала это расстояние было равно (x)=10 км, длина s=200 км, а радиус R=6371 км, то сокращение расстояния должно составить 0,005 км, или 5 м. Эта величина производит впечатление, однако не своим численным значением (что значат 5 м по сравнению с 10 000 м?), а принципиальным фактом существования такого расхождения. Ведь никакого расхождения не было бы, если бы охваченная движением путешественников область 10 км·200 км была плоской. Существование этого расхождения — самое непосредственное свидетельство того, что используемая при описании 2-мерной поверхности земного шара геометрия должна быть геометрией искривлённого пространства.
Измерение кривизны по изменению удаления друг от друга двух первоначально параллельных идеальных линий1)
1) Здесь большей частью под «идеальными линиями» и «мировыми линиями» авторы понимают не любые мировые линии, а экстремальные, т.е. геодезические линии. - Прим. перев.
Как же можно адекватно описать и количественно измерить эту кривизну? Как можно прийти к числу, не зависящему от длины пути и расстояния между путешественниками,— к числу, описывающему саму локальную кривизну, а не путешественников? Заметим сначала, что расстояние между A и B уменьшается в ускоряющемся темпе, так что целесообразно говорить именно об этом ускорении. Как можно оценить его величину? Воспользуемся тем фактом, что относительное ускорение есть скорость изменения относительной скорости, а относительная скорость в свою очередь есть скорость изменения расстояния. Поэтому начнём именно с расстояния (удаления) x = (x) - (x)
s^2
2R^2 .
Пройдём дополнительно ещё небольшой путь, так что вместо s получим s+ds, где величина ds весьма мала по сравнению с другими интересующими нас величинами. В результате такого дополнительного сдвига расстояние сокращается до величины (x)нов = (x) - (x)
(s+ds)^2
2R^2 .
Имея в виду, что квадратом малой величины ds можно пренебречь, получим (x)нов = (x) - (x)
(s^2+2s ds)
2R^2 .
Возьмём разность между новым и старым удалением, разделим её на дополнительный путь ds и найдём тем самым скорость изменения удаления — «скорость удаления»:
Изменение
удаления
«Скорость
удаления»
= =
Дополнительный
путь, пройденный
путешественниками
=
(x)нов– x
ds =- (x)
s
R^2 . (136)
Скорость удаления равна нулю, когда A и B начинали свой путь от экватора (s=0), и причина этого была проста — пути A и B были тогда в точности параллельными. Но чем дальше к северу они продвигались, т.е. чем больше становилась величина s в уравнении (136), тем быстрее начинали приближаться друг к другу A и B. Такое «ускорение удаления» измеряется отношением
Скорость
удаления
«Ускорение
удаления»
= =
Расстояние от места,
где скорость удаления
была равна нулю
– (x) s = R^2 =- (x) . s R^2 (137)
Если бы наши путешественники начали свой путь при вдвое большем расстоянии друг от друга, чем в этом примере [(x)], то «ускорение удаления» возросло бы в два раза согласно уравнению (137). Другими словами, истинная мера кривизны поверхности земного шара определяется не самим «ускорением удаления», но «ускорением удаления на единицу первоначального удаления»:
Мера
кривизны
=
«Ускорение
удаления»
Первоначальное
удаление
= =
– /R^2
=-
1
R^2 .
Хотя эта величина и мала, но она доступна измерению — она равна — 1/(6,371·10 м)^2 = 2,5·10^1 м^2. Как это похоже на «приливное воздействие» (стр. 239)! Даже размерность одна и та же! Эта аналогия геометрического понятия «кривизны» и гравитационного понятия «приливного воздействия» и предвосхищает эйнштейновское геометрическое истолкование гравитации.