Физика в примерах и задачах
Шрифт:
N
.
(4)
Выражая силу N из уравнения (3) и подставляя в (4), получаем
F
тр
=
(
mg cos
–
F sin
).
(5)
Учитывая это выражение для силы трения, из уравнения (2) находим
F
=
mg
sin + cos
cos + sin
.
(6)
Числитель этого выражения не зависит от , поэтому сила F будет наименьшей, когда
f
=
cos
+
sin
.
(7)
Для нахождения максимума можно приравнять нулю производную этой функции: f'=0. Можно найти максимум и элементарно, сведя f к одной тригонометрической функции угла . Введём некоторую величину так, чтобы tg был равен коэффициенту трения :
=
tg
=
sin
cos
.
(8)
Такая замена возможна при любом , так как тангенс изменяется от - до . Подставляя , из соотношения (8) в выражение (7) и приводя правую часть к общему знаменателю, получаем
f
=
cos cos + sin sin
cos
=
cos(-)
cos
.
(9)
Теперь очевидно, что величина f максимальна при =, т.е. при
=
arctg
.
(10)
Вот под таким углом и следует тянуть санки за верёвку. Сила F при этом будет наименьшей. Чтобы найти её, подставим в (6) выражение (8) для и учтём, что в интересующем нас случае =. В результате после простых преобразований получаем
F
=
mg
sin(+)
.
(11)
Проанализируем полученный ответ. Прежде всего отметим, что приведённое решение имеет смысл только тогда, когда получившееся значение таково, что +<=/2. Если +>/2, то, как видно из рис. 3.2, сила F отклонялась бы влево от вертикали и не могла бы тащить санки в гору. В предельном случае +=/2 сила F направлена вертикально вверх и, как видно из формулы (11), равна по модулю силе тяжести mg. Это значит, что сила F просто удерживает санки на весу, а сила Q равна нулю.
Таким образом, форма ответа зависит от угла и коэффициента трения . Если +arctg >/2, то ответ на поставленные вопросы даётся формулами (10) и (11). В противном случае сила F должна быть направлена вертикально вверх и равна по модулю силе тяжести mg.
Эта задача допускает изящное графическое решение. Для этого заметим, что формально введённая соотношением (8) величина имеет простой физический смысл: в силу закона Кулона - Амонтона (4) есть угол, образованный силой реакции опоры Q с нормалью к наклонной плоскости (рис. 3.2). Поэтому уравнение (1) легко исследовать графически.
Рис. 3.3. Графическое определение наименьшей силы F
Сначала изобразим на чертеже известную и по модулю, и по направлению силу mg (рис. 3.3). Что касается слагаемого Q, то нам заранее известно только его направление: как видно из рис. 3.2, оно составляет угол =arctg с нормалью к наклонной плоскости, т.е. угол + с вертикалью. Поэтому через конец вектора mg проводим прямую, составляющую угол + с вертикалью. На этой прямой будем откладывать силу Q, совмещая её начало с концом вектора mg. Далее в соответствии с уравнением (1) строим силу F, которая должна замыкать треугольник сил, т.е. соединять конец вектора Q с началом
Из рис. 3.3 видно, что это решение имеет смысл, только если +arctg </2. Обычно коэффициент трения невелик, и это условие не выполняется только при углах , близких к /2. Значит, решение, выражаемое формулой (10), может оказаться несправедливым только при подъёме на очень крутую гору.
В заключение предлагаем подумать над вопросом, почему передние колеса деревенской телеги, к оси которой прикрепляются оглобли, как правило, меньше задних.
4. Доски на наклонной плоскости.
На наклонной плоскости, составляющей угол с горизонтом, лежат две доски, одна на другой (рис. 4.1). Можно ли подобрать такие значения масс досок m и m, коэффициентов трения досок о плоскость и друг о друга , чтобы нижняя доска выскользнула из-под верхней? В начальный момент доски покоятся.
Рис 4. Доски на наклонной плоскости
На первый взгляд это самая обычная задача. Следует рассмотреть все действующие на доски силы и, пользуясь законами Ньютона, составить уравнения движения. Решив их, найдём ускорения a и a, и для ответа на поставленный вопрос останется только выяснить, при каких условиях ускорение нижней доски a больше ускорения верхней a. Однако, попытавшись выполнить эту программу, мы сразу столкнёмся с трудностью. Для решения уравнений нужно знать, как направлены все действующие силы. Но как направлены силы трения досок друг о друга? Это зависит от их относительной скорости, т.е. от того, какая из досок соскальзывает с большим ускорением. Получается заколдованный круг: чтобы найти ускорения, надо знать направления сил, а чтобы найти направления сил, требуется знать, какое из ускорений больше. Такое положение характерно для многих задач, где учитывается трение. Конечно, можно последовательно перебирать все мыслимые варианты и исключать те из них, которые приводят к нелепому результату. Но можно найти иной подход, чтобы подобных проблем не возникало.
Рис. 4.2. Действующие силы при условии, что нижняя доска выскальзывает из-под верхней
В данной задаче нам нужно только выяснить, возможно ли движение нижней доски с большим ускорением. Предположим, что это возможно, т.е. что мы подобрали такие значения масс и коэффициентов трения, при которых a>a. Тогда направление всех сил определяется однозначно и указано на рис. 4.2, где F - сила трения нижней доски о наклонную плоскость, F=-F - силы трения досок друг о друга, N - нормальная сила реакции наклонной плоскости, N=-N - силы давления досок друг на друга. Составляя уравнения движения досок и проецируя их на направление вдоль наклонной плоскости, получаем
mg
sin
–
F
–
F
=
ma
,
mg
sin
+
F
=
ma
.
Из этих уравнений сразу видно, что при любых массах и коэффициентах трения
a
<
g sin
,
a
>
g sin
,
т.е. a<a Мы получили противоречие: при предположении, что a>a, из уравнений динамики следует, что a<a. Так как уравнения динамики безусловно справедливы, полученное противоречие означает, что предположение о возможности движения нижней доски с большим ускорением ошибочно.