Физика в примерах и задачах

Кондратьев Александр Сергеевич

Обозначим горизонтальную и вертикальную составляющие скорости бруска относительно земли через v_x и v_y, а скорость клина в тот же момент времени через -V. Поскольку при соскальзывании бруска клин движется налево, то горизонтальная составляющая скорости бруска относительно клина равна v_x+V (рис. 8.2). Полная скорость бруска относительно клина должна быть направлена вдоль его поверхности, поэтому с помощью рис. 8.2 сразу находим

v

_y

=

(

v

_x

+

V

)

tg

.

(1)

Это

и есть искомое кинематическое соотношение.

Рис. 8.3. Вектор скорости v и траектория бруска (пунктир) относительно земли

Вектор скорости бруска относительно земли v образует угол с горизонтом, тангенс которого равен отношению v_y/v_x (рис. 8.3). Поэтому с помощью соотношения (1) имеем

tg

=

v_y

v_x

=

1

+

V

v_x

tg

.

(2)

Величины v_x и V можно связать с помощью условия сохранения горизонтальной составляющей импульса системы, которое выражает тот факт, что центр масс системы не перемещается в горизонтальном направлении:

mv

_x

=

MV

.

(3)

Соотношение (3) позволяет переписать формулу (2) для tg в виде

tg

=

1

+

m

M

tg

.

(4)

На рис. 8.3 пунктиром показана траектория бруска относительно земли. Если масса бруска много меньше массы клина, т.е. m/M<<1, то из формулы (4) получаем . Так и должно быть, ибо в этом предельном случае клин практически не приходит в движение. В другом предельном случае m/M>>1 угол /2: лёгкий клин выскальзывает из-под тяжёлого бруска, который падает практически отвесно.

Осталось найти только горизонтальную скорость клина в момент, когда брусок соскользнёт до его основания. Это можно сделать, если воспользоваться ещё и законом сохранения механической энергии. Поскольку трение отсутствует, первоначальная потенциальная энергия бруска целиком превращается в кинетическую энергию бруска и клина:

mgh

=

m(v_x^2+v_y^2)

2

=

MV^2

2

.

(5)

Подставляя в это уравнение сначала v_y из выражения (1), а затем v_x из закона сохранения импульса (3), находим

V^2

=

2gh

(M/m)^2+(1+M/m)^2tg^2+M/m

.

(6)

Рассмотрите сами получающиеся из формулы (6) выражения в предельных случаях m/M<<1 и m/M>>1 и объясните результаты.

9. Шарики на длинной нити.

На очень длинной нити подвешен шарик массы m, к которому на нити длиной l, подвешен шарик массы m, (рис. 9.1). Какую начальную скорость v в горизонтальном направлении нужно сообщить

нижнему шарику, чтобы соединяющая шарики нить отклонилась до горизонтального положения?

Рис. 9.1. Начальное положение нити с шариками

Какое значение имеет то обстоятельство, что верхний шарик подвешен на очень длинной нити? Это значит, что он движется практически по горизонтальной прямой, а сама длинная нить остаётся вертикальной. Если это осознать, то дальнейшее решение не должно вызывать принципиальных затруднений. Все действующие на систему внешние силы - сила натяжения верхней нити и силы тяжести, действующие на шарики, - направлены по вертикали, поэтому горизонтальная составляющая полного импульса системы сохраняется. В тот момент, когда шарики окажутся на одинаковой высоте, горизонтальная составляющая v_г скорости второго шарика будет равна скорости первого шарика. Это следует из нерастяжимости соединяющей их нити. Поэтому сохранение горизонтальной составляющей импульса системы можно записать в виде

mv

=

(m+m)

v

_г

.

(1)

Обозначив вертикальную составляющую скорости нижнего шарика через v_в запишем также уравнение закона сохранения механической энергии:

mv^2

2

=

(m+m)v_г^2

2

+

mv_в^2

2

+

mgl

.

(2)

Из уравнения (2) видно, что минимальное значение скорости v соответствует случаю, когда вертикальная составляющая v_в в интересующий нас момент обращается в нуль: v_в=0. Подставляя в (2)

v

_г

=

vm

m+m

из (1), получаем

v

_0min

=

2gl(1+m/m)

.

(3)

Если нижний шарик гораздо легче верхнего, т.е. m<0min=2gl, очевидное и из элементарных соображений. Если же m<0min=2gL, где L - суммарная длина обеих нитей. Ясно, что формула (3) в этом случае неприменима, так как она получена в предположении, что верхняя нить всё время остаётся вертикальной.

10. Пуля пробивает шар.

Горизонтально летящая пуля массы m насквозь пробивает первоначально покоившийся шар массы M и вылетает из него со скоростью, вдвое меньшей первоначальной. Какая доля кинетической энергии пули превратилась во внутреннюю энергию?

Обозначим скорость пули до столкновения с шаром через v, а приобретаемую шаром скорость через V. По условию скорость пули на вылете из шара равна v/2, поэтому уравнение закона сохранения импульса в проекции на горизонтальное направление принимает вид