Физика в примерах и задачах
Шрифт:
Рис. 13.5. При 0<</3 начальная высота h почти не зависит от угла
Интересно отметить, что высшая точка траектории 1 в разрезе желоба (рис. 13.4) при любых углах лежит выше продолжения окружности. Действительно, максимальная высота подъёма тела после отрыва в точке A равна
v^2 sin^2
2g
,
что после подстановки v^2 из (12) даёт
R sin^2
2 cos
.
Поэтому высота этой точки траектории
H
=
R cos
+
R
2
sin^2
cos
=
R
2
cos
+
1
cos
.
Это выражение больше R при любых от 0 до /2.
14. Связанные шарики.
Рис. 14.1. Одинаковые шарики связаны нерастяжимой нитью
Два одинаковых маленьких шарика, связанных нерастяжимой невесомой нитью длины l (рис. 14.1), лежат на гладкой горизонтальной поверхности. Одному из шариков сообщают скорость v, направленную вертикально вверх. Какой должна быть начальная скорость для того, чтобы нить всё время оставалась натянутой, а нижний шарик не отрывался от горизонтальной поверхности? Трением шарика о поверхность пренебречь. При исследовании условия отрыва нижнего шарика силу натяжения нити считать максимальной при вертикальном положении нити.
Предположим, что начальная скорость v такова, что эти условия выполнены, т.е. при движении шариков нить всё время остаётся натянутой, а нижний шарик не отрывается от поверхности. По каким траекториям тогда движутся шарики? Ясно, что нижний шарик движется прямолинейно, а верхний описывает некоторую кривую (рис. 14.2). Чтобы выяснить, что это за кривая, воспользуемся тем, что при вертикальной начальной скорости центр масс шариков в отсутствие трения нижнего шарика о поверхность стола может двигаться только по вертикали.
Рис. 14.2. Верхний шарик движется по эллипсу с полуосями l/2 и l
Введём систему координат так, что ось x направлена горизонтально вдоль нити, соединяющей шарики, а ось y - вертикально и проходит через центр масс шариков. При таком выборе осей нижний шарик будет двигаться вдоль оси x, центр масс C - вдоль оси y, а верхний шарик - по кривой, лежащей в плоскости x,y. Непосредственно из рис. 14.2 видно, что координаты верхнего шарика x и y можно выразить через угол , образуемый натянутой нитью с горизонтом:
x
=
l
2
cos
,
y
=
l
sin
.
(1)
Если из этих соотношений исключить угол , то получится уравнение траектории верхнего шарика. Разделив первое соотношение на l/2, второе на l, возводя их в квадрат и складывая, находим
x^2
(l/2)^2
+
y^2
l^2
=
1.
(2)
Это уравнение эллипса с полуосями l/2 и l.
Для того чтобы выяснить, при какой начальной скорости v движение шариков будет именно таким, нужно рассчитать силу натяжения соединяющей их нити. Скорость v должна быть достаточно большой, так чтобы сила натяжения нити ни в какой точке траектории не обращалась в нуль. С другой стороны, эта скорость не должна быть слишком большой, ибо если вертикальная составляющая силы
При данной начальной скорости сила натяжения нити T ослабевает по мере подъёма шарика. Так происходит потому, что с приближением к верхней точке траектории скорость верхнего шарика уменьшается, а действующая на него сила тяжести играет всё большую роль в искривлении его траектории, и, следовательно, роль силы натяжения уменьшается. Поэтому для нахождения наименьшей начальной скорости, при которой нить ещё остаётся натянутой вплоть до верхней точки A траектории, составим уравнение второго закона Ньютона для верхнего шарика в этой точке. Так как в точке A ускорение направлено вертикально вниз, т.е. по нормали к траектории, то оно равно отношению квадрата скорости v шарика в этой точке к радиусу кривизны траектории R. Поэтому
T
+
mg
mv
R
.
(3)
Нить останется натянутой, если вычисленная из уравнения (3) сила натяжения T будет положительной: T>0. Мы видим, что для нахождения T нужно знать v и R.
Скорость v проще всего найти с помощью закона сохранения энергии. Так как центр масс шариков не перемещается по горизонтали, то горизонтальные составляющие скоростей обоих шариков в любой момент времени равны по модулю и направлены в противоположные стороны. Поэтому в момент прохождения верхним шариком наивысшей точки траектории скорости обоих шаров равны v. Так как в этот момент потенциальная энергия равна mgl, то
mv^2
2
=
2
mv^2
2
+
mgl
,
(4)
откуда
v^2
=
v^2
2
–
gl
.
(5)
Теперь нужно найти радиус кривизны эллипса в точке A. Это можно сделать так же, как в задаче 3 раздела «Кинематика», где определялся радиус кривизны циклоиды. Основная идея заключается в том, что рассматриваемую кривую представляют как траекторию какого-либо достаточно простого механического движения и исследуют это движение методами кинематики, пользуясь тем, что радиус кривизны входит в формулу для нормальной составляющей ускорения.
Вместо того чтобы рассматривать действительное движение верхнего шарика, при котором угол довольно сложным образом зависит от времени, рассмотрим вспомогательное движение некоторой точки по этому же эллипсу, считая, что угол равномерно меняется со временем: =t. Для такого вспомогательного движения уравнения (1) принимают вид
x
=
l
2
cos t
,
y
=
l
sin t
.
(6)
Дифференцируя эти уравнения по времени, находим проекции скорости вспомогательного движения на оси координат:
v
x
=-
l
2
sin t
,
v
y
=
l
cos t
.
(7)
Дифференцируя по времени уравнения (7), получаем проекции ускорения:
a
x
=-
^2l
2
cos t
,
a
y
=-
^2l
sin t
.
(8)