Физика в примерах и задачах, Кондратьев Александр Сергеевич

Физика в примерах и задачах

на обложку

Кондратьев Александр Сергеевич

Шрифт:

gR^2

откуда, учитывая (2), находим

0,01

Скорость спутника увеличилась на 1%. Обратите внимание, что слабое торможение спутника в верхних слоях атмосферы приводит к увеличению его скорости!

Осталось найти изменение периода обращения. Это легко сделать, зная r/r и v/v, поскольку период связан с радиусом орбиты и скоростью спутника соотношением T=2r/v. Записывая значение периода обращения при изменившихся радиусе орбиты и скорости спутника:

r+r

v+v

и преобразуя правую пасть подобно тому, как это делалось выше,

r(1+r/r)

v(1+v/v)

–

находим

–

– 0,03

Период обращения уменьшился на 3%.

19. Энергия спутника.

Спутник обращается вокруг Земли по круговой орбите радиуса r. В какой пропорции сообщённая ему при запуске энергия распределилась между приращениями потенциальной и кинетической энергий?

Кинетическую энергию спутника mv^2/2, движущегося по круговой орбите, удобно выразить через радиус орбиты r:

mgR^2

(1)

Находясь на поверхности Земли, спутник уже обладает потенциальной энергией. Если, как обычно, выбрать начало отсчёта потенциальной энергии на бесконечности, потенциальная энергия спутника на поверхности Земли

(R)

mgR

а потенциальная энергия на орбите

(r)

mgr

Следовательно,

при выводе спутника на орбиту ему была сообщена потенциальная энергия

(r)

–

(R)

mgR

(1-R/r)

(2)

Составляя отношение (1) и (2), находим

Eп

Eк

r-R

Но r-R равно высоте орбиты H над поверхностью Земли. Итак,

Eп

Eк

т.е. отношение сообщённой потенциальной энергии к сообщённой кинетической пропорционально высоте орбиты.

20. Возвращение с орбиты.

Космический корабль движется по круговой орбите. Для перехода на траекторию приземления кораблю сообщают дополнительную скорость v включением тормозного двигателя на короткое время. Рассмотреть два способа перехода на траекторию приземления: 1) дополнительная скорость сообщается в направлении, противоположном орбитальной скорости; 2) дополнительная скорость сообщается вертикально вниз, т.е. в направлении на центр Земли. Какой способ выгоднее энергетически? Исследовать также предельный случай возвращения с низкой круговой орбиты, высота которой h над поверхностью Земли много меньше радиуса Земли R(h<

Сообщение дополнительной скорости v переводит корабль с круговой орбиты на эллиптическую. Один из фокусов эллипса, в соответствии с первым законом Кеплера, находится в центре Земли. При любом из способов перехода на траекторию приземления дополнительная скорость будет наименьшей, если эллипс только касается земной поверхности (точнее - границы плотных слоёв атмосферы), а не пересекает её. В самом деле, при таком условии требуется наименьшее «искажение» первоначальной круговой траектории. На рис. 20.1 выбранная точка приземления обозначена буквой A. Эта точка является перигеем эллиптической траектории спуска.

Рис. 20.1. Возможные траектории снижения с круговой орбиты в точку A на поверхности

При первом способе включение двигателя изменяет только модуль, но не направление скорости. Поэтому в точке, где срабатывает тормозной двигатель, и исходная круговая, и получившаяся эллиптическая траектория спуска имеют общую касательную, направленную вдоль вектора скорости. Глядя на рис. 20.1, нетрудно сообразить, что эта точка является апогеем эллиптической траектории и, следовательно, лежит на продолжении прямой, проходящей через перигей (точку A) и центр Земли.

При втором способе дополнительная скорость v сообщается в направлении, перпендикулярном круговой орбите, и, следовательно, при этом изменяется как модуль, так и направление орбитальной скорости. Это означает, что эллиптическая траектория спуска пересекает круговую орбиту в точке, где срабатывает тормозной двигатель (точка C на рис. 20.1).

Для определения необходимой дополнительной скорости v в каждом из этих случаев воспользуемся законом сохранения энергии и вторым законом Кеплера, согласно которому при движении по орбите секторная скорость неизменна. Уравнения, выражающие эти законы, для первого способа можно записать в виде

mv^2

–

mgR^2

mv^2

–

mgR

(1)

(2)

где vv-v - скорость в апогее (в точке B рис. 20.1), v - скорость на круговой орбите, r - радиус круговой орбиты, - скорость в точке приземления A. Подставляя v из (2) в (1) и перегруппировывая члены, получим

v^2

r^2

R^2

2gR^2

(3)

Рассматривая в левой части уравнения (3)

разность квадратов

r^2

R^2

как произведение

и сокращая правую и левую части на

получаем

2gR^2

1/2

1+r/R

Учитывая, что gR^2/r есть скорость корабля на круговой орбите v, и подставляя v=v-v, - находим

1+r/R

1/2

(4)

В случае низкой круговой орбиты (h<

1+r/R

1/2

1+(h+R)/R

1/2

2+h/R

1/2

1+h/2R

1+h/4R

–

Подставляя это выражение в формулу (4), получаем

(5)

Перейдём к нахождению дополнительной скорости v при втором способе перехода на траекторию приземления. Прежде всего заметим, что при сообщении кораблю дополнительной скорости в направлении на центр Земли его секторная скорость не изменяется, поэтому в любой точке эллиптической траектории спуска секторная скорость будет такой же, как и на первоначальной круговой орбите, т.е. равной rv Запишем это условие для точки приземления A, скорость в которой обозначим через v:

(6)

Вместе с уравнением закона сохранения энергии

m(v^2+v^2)

–

mgR^2

mv^2

–

mgR

(7)

получаем систему уравнении относительно неизвестных v^2 и v^2. В уравнении (7) учтено, что дополнительная скорость v^2 перпендикулярна скорости на круговой орбите и квадрат результирующей скорости определяется по теореме Пифагора (рис. 20.1). Подставляя v из (6) в уравнение (7), учитывая, что скорость на круговой орбите v=gR^2/r, и выражая через v последнее слагаемое в правой части (7), получаем

v^2

–

2v^2

v^2

r^2

R^2

–

2v^2

откуда

v^2

r^2

R^2

– 2

(8)

Таким образом,

– 1

(9)

Подставляя в эту формулу r=R+h получаем

(10)

Сравнивая формулы (5) и (10), находим, что при использовании первого способа перехода на траекторию приземления с низкой круговой орбиты (h<

Скорость в точке A, которую необходимо погасить для осуществления мягкой посадки, при использовании первого способа меньше. Это непосредственно следует из закона сохранения энергии при сравнении этих способов. Действительно, так как изменения потенциальной энергии одинаковы при обоих способах спуска, то кинетическая энергия в точке A больше в том случае, в котором она больше сразу после срабатывания тормозного двигателя. Таким образом, и с этой точки зрения первый способ является предпочтительным. Более высокая скорость входа в плотные слои атмосферы, характерная для второго способа, предъявляет более жёсткие требования к теплозащитному экрану корабля. Преимущества первого способа становятся совсем очевидными, если речь идёт о посадке на лишённую атмосферы планету (например, на Луну), где скорость перед посадкой должна быть погашена двигателем.

Рис. 20.2. К расчёту точки срабатывания тормозного двигателя

В какой точке круговой орбиты должен сработать тормозной двигатель, чтобы приземление произошло в заданной точке A? При первом способе снижения эта точка, как мы видели, лежит на прямой, проходящей через точку A и центр Земли (точка B на рис. 20.1). А как при втором способе? На рис. 20.1 точка C, где срабатывает двигатель, расположена на прямой, проходящей через центр Земли и образующей прямой угол с радиусом Земли, проведённым в точку A. И это действительно так. Убедиться в этом можно, например, следующим образом.

Рассмотрим треугольник COO' на рис. 20.2, который получается, если точку C соединить с фокусами эллиптической траектории O и O'. Согласно первому закону Кеплера фокус O совпадает с центром Земли. Вычислим стороны s и d этого треугольника, используя свойства эллиптической орбиты, по которой движется корабль после срабатывания двигателя. При этом окажется, что d^2+r^2=s^2, т.е. для треугольника COO' справедлива теорема Пифагора, и, следовательно, он прямоугольный.

Сторона d как видно из рис. 20.2, равна разности r' и R:

–

(11)

Сумма расстояний от любой точки эллипса до фокусов есть постоянная для данного эллипса величина. Приравнивая суммы расстояний до фокусов от точек C и E, получаем

s+r

r'+R

откуда

r'+R-r

(12)

Таким образом, для нахождения d и s нужно вычислить r', т.е. расстояние от центра Земли до апогея эллиптической орбиты. Это можно сделать, используя закон сохранения энергии и постоянство секторной скорости. Приравнивая эти величины в точках C и E, получаем

r'v'

(13)

m(v^2+v^2)

–

mgR^2

mv'^2

–

mgR^2

(14)

Подставим в уравнение (14) v' из (13), v из (9) и заменим, как и раньше, gR^2

на v^2r. В результате получим

– 1

(15)

Это квадратное уравнение для r имеет два корня. Один корень r'-R соответствует перигею орбиты, т.е. точке A. Этот корень появляется потому, что правая часть уравнения (13) имеет одинаковый вид и для апогея, и для перигея, а уравнение (14) справедливо для всех точек траектории. Второй корень

2R-r

(16)

соответствует искомому расстоянию до апогея.

Теперь остаётся только подставить r' из (16) в формулы (11) и (12) и убедиться, что d^2+r^2=s^2.

Глядя на рис. 20.1, легко сообразить, что для низкой круговой орбиты, когда эллиптические траектории спуска мало отличаются от круговой, возвращение на Землю по первому способу занимает приблизительно половину оборота вокруг Земли, а по второму способу - четверть.

В заключение сделаем следующее замечание. При нахождении добавочной скорости v мы взяли только положительный корень уравнения (8). А имеет ли физический смысл отрицательный корень этого уравнения

R-1

(17)

Знак минус перед этим выражением может означать, только то, что эта добавочная скорость направлена не к центру Земли, а в противоположном направлении - от центра Земли. Какая при этом получится траектория? Имеет ли она какое-либо отношение к решаемой задаче, т.е. к нахождению траектории снижения?

Рис. 20.3. Снижение корабля в точку A возможно при сообщении ему в точке D импульса, направленного от центра Земли

Взглянем ещё раз на рис. 20.1. Эллипс, соответствующий второму способу снижения, пересекается с исходной круговой орбитой корабля дважды: в точках C и D. Из симметрии рисунка ясно, что модули скоростей на эллиптической орбите в точках C и D одинаковы. Если разложить скорости в этих точках на составляющие по двум взаимно перпендикулярным направлениям - вдоль круговой траектории и вдоль направления на центр Земли, - то, как ясно из рис. 20.3, соответствующие составляющие скорости будут одинаковы по модулю. Поэтому если кораблю в тот момент, когда он проходит через точку D круговой орбиты, сообщить добавочную скорость v, направленную по радиусу от центра Земли (т.е. вертикально вверх!), то корабль сначала будет удаляться от Земли по эллиптической траектории, но потом, двигаясь по ней, всё равно придёт в точку A.

Уравнение (8) имеет корень (17), соответствующий этому случаю. Это и не удивительно: как закон сохранения энергии (7), так и закон постоянства секторной скорости (6) имеют один и тот же вид независимо от того, направлена ли добавочная скорость v к центру или от центра Земли.

В случае низкой круговой орбиты возвращение на Землю по такому необычному способу займёт, как это видно из рис. 20.3, приблизительно три четверти оборота вокруг Земли.

21. Метеорит.

На какой угол изменится направление скорости пролетающего мимо Земли метеорита под действием земного притяжения? Скорость метеорита на большом расстоянии от Земли v, прицельное расстояние l.

Рис. 21.1. Гиперболическая траектория полёта метеорита вблизи Земли

Качественно характер зависимости угла отклонения метеорита от скорости v и прицельного расстояния l, т.е. расстояния от центра Земли, на котором пролетел бы метеорит, если бы не было земного притяжения (рис. 21.1), можно установить сразу: при заданной скорости v этот угол тем меньше, чем больше l. Это ясно, так как на пролетающий на большом расстоянии метеорит ослабевающее с расстоянием земное притяжение влияет слабо. При заданном l угол отклонения тем меньше, чем больше скорость v. В самом деле, при большой скорости время пролёта мало и сила земного тяготения не успевает вызвать заметного искривления траектории метеорита.

Для получения количественного результата необходимо использовать некоторые свойства гиперболической траектории, по которой движется метеорит, если он приходит к Земле из бесконечности. Гипербола - это геометрическое место точек, разность расстояний до которых от двух заданных точек O и O', называемых фокусами, постоянна: r-r=const (рис. 21.1). Один из фокусов гиперболы O совпадает с центром Земли, второй фокус O' лежит на прямой, проходящей через центр Земли и ближайшую к центру точку A траектории. На бесконечно больших расстояниях от Земли как при приближении, так и при удалении- скорость метеорита направлена по асимптотам гиперболы, т.е. задача состоит в нахождении угла между асимптотами. Точка пересечения асимптот лежит посредине между фокусами.

Приравняем разности расстояний от фокусов O и O' до бесконечно удалённой точки (O'B на рис. 21.1) и до ближайшей к центру Земли точки (A на рис. 21.1). Из треугольника OO'B находим

O'B

2l tg

OO'

cos (/2)

Разность расстояний от фокусов до точки A равна

AO'

–

(OO'-AO)

–

Обозначим через r расстояние AO от центра Земли до ближайшей точки траектории. Теперь условие равенства разности расстояний до выбранных точек можно записать в виде

2l tg

cos (/2)

–

Перенося 2r в левую часть, возводя обе части в квадрат и используя тождество 1/cos^2=1+tg^2, получаем

l^2-r^2

2lr

(1)

При заданном прицельном расстоянии l расстояние r до ближайшей к центру Земли точки траектории зависит от скорости v на бесконечности. Для того чтобы исключить r из формулы (1), воспользуемся законом сохранения энергии

mv^2

–

mgR^2

(2)

(v - скорость метеорита в точке A, R - радиус Земли) и вторым законом Кеплера, который при движении в центральном поле справедлив и для разомкнутых траекторий:

(3)

Правая часть этого равенства очевидна, поскольку в ближайшей к Земле точке траектории A вектор скорости v перпендикулярен радиусу Земли. Левая часть этого равенства становится очевидной, если посмотреть на рис. 21.2.

Рис. 21.2. Применение второго закона Кеплера к гиперболической орбите

Из закона сохранения энергии (2) и формулы (3) легко находим

l^2-r^2

2gR

v^2

что после подстановки в (1) даёт

gR^2

lv^2

(4)

Эта формула решает поставленную задачу: определяет угол отклонения метеорита в зависимости от прицельного расстояния и скорости на бесконечности. Угол /2 монотонно возрастает от 0 до /2 при уменьшении произведения lv^2 от до 0, что согласуется с приведёнными выше качественными соображениями.

При решении задачи мы предполагали, что траектория метеорита не задевает Землю. Уравнения (2) и (3) позволяют найти условие, которому должны удовлетворять прицельное расстояние l и скорость метеорита на бесконечности v, чтобы это действительно было так. Полагая в этих уравнениях минимальное расстояние r до центра Земли равным радиусу Земли R и исключая из них v, находим

мин

2gR

v^2

1/2

При меньших значениях прицельного расстояния метеорит упадёт на Землю.

Рассмотрим некоторые частные случаи.

1. Наибольшее значение угла отклонения max получается из (4) при наименьшем возможном (при заданной скорости v) значении прицельного расстояния lmin, выражение для которого можно переписать несколько иначе, воспользовавшись тем, что 2gR равно квадрату второй космической скорости vII:

min

1+(v

/v)^2

(lmin и max соответствуют траектории, почти касающейся земного шара). Таким образом,

max

2arctg

(vII/v)^2

21+(vII/v)^2

(5)

Если скорость на бесконечности мала по сравнению со второй космической скоростью: v<II , то в знаменателе (5) под корнем можно пренебречь единицей:

max

2 arctg

vII

т.е max– > при v/vII– >0: при малой начальной скорости и надлежащем выборе её направления (т.е. таком, чтобы метеорит всё-таки прошёл мимо Земли) направление скорости метеорита после облёта Земли изменится практически на противоположное.

2. Угол отклонения метеорита будет мал, как видно из (4), при выполнении неравенства gR^2/lv^2<<1. В этом случае в (4) тангенс можно заменить его аргументом:

2gR^2

lv^2

(6)

Правая часть этого выражения представляет собой отношение абсолютной величины потенциальной энергии метеорита на расстоянии l от центра Земли mgR^2/l и его кинетической энергии на бесконечности mv^2/2.

Рис. 21.3. К вычислению малого угла отклонения метеорита

Интересно отметить, что приближённый результат (6) для отклонения на малый угол с точностью до числового множителя порядка единицы можно получить совершенно элементарно. Рассмотрим относящийся к этому случаю рис. 21.3. Грубо можно считать, что взаимодействие метеорита с Землёй существенно только на ближайшем к Земле участке траектории AB длиной порядка l: другие участки почти прямолинейны, так как там сила земного притяжения практически параллельна скорости метеорита. В рассматриваемом движении модуль скорости практически не изменяется и продолжительность действия силы земного тяготения на метеорит можно принять равной tl/v. Силу приближённо можно положить равной mgR^2/l^2. Таким образом, приращение импульса метеорита p в направлении, перпендикулярном направлению его движения, составляет по порядку величины

mgR^2

Отсюда для угла отклонения легко получить

gR^2

lv^2

22. Рассеяние -частиц.

– частица, летевшая со скоростью v упруго рассеивается на неподвижном ядре и изменяет направление движения на 90°. Определить скорость ядра после удара.

Столкновение -частицы с ядром можно рассматривать как абсолютно упругий удар, при котором выполняются законы сохранения энергии и импульса. Пусть m и M - массы -частицы и ядра, а v и V - их скорости после столкновения. Тогда законы сохранения энергии и импульса записываются в виде

mv^2

MV^2

(1)

(2)

Рис. 22.1. Сохранение импульса при рассеянии -частицы на прямой угол неподвижным ядром

Равенству (2) соответствует параллелограмм импульсов на рис. 22.1. Так как по условию -частица рассеялась на 90°, то треугольники на этом рисунке прямоугольные. Направление движения ядра после удара составляет некоторый угол с первоначальным направлением движения -частицы. Из рис. 22.1 видно, что