Физика в примерах и задачах

Кондратьев Александр Сергеевич

18. Странный вольтметр.

Рис. 18.1. Проводящее кольцо на сердечнике трансформатора

На железный сердечник трансформатора (рис. 18.1) вместо вторичной обмотки надето проводящее кольцо сопротивлением R. К точкам A и B этого кольца, отстоящим друг от друга на 1/3 длины кольца, подключён идеальный вольтметр. ЭДС индукции, наводимая в проводящем кольце, равна E. Что покажет вольтметр?

Рис. 18.2. Замкнутая цепь из одинаковых источников

тока

Изменяющийся со временем магнитный поток в сердечнике порождает вихревое электрическое поле, линии напряжённости которого представляют собой окружности, симметрично охватывающие сердечник. При симметричном расположении кольца сторонние силы во всех его участках одинаковы и ЭДС индукции в любом участке кольца пропорциональна длине участка. В частности, на участке AB ЭДС индукции E_AB=1/3E, а на участке BCA E_BCA=2/3E Поэтому может показаться, что данная задача эквивалентна хорошо известной задаче о последовательно соединённых в замкнутую цепь одинаковых источниках тока (рис. 18.2). Легко показать, что напряжение между любыми двумя точками такой цепи равно нулю. В самом деле, применяя закон Ома для участка неоднородной цепи FD, содержащего n элементов, имеем

I

=

U_FD+nE

nr

(1)

С другой стороны, применяя закон Ома ко всей замкнутой цепи из n+m элементов, получаем

I

=

(n+m)E

(n+m)r

E

r

.

(2)

Сравнивая (1) и (2), видим, что U_FD=0. Если к точкам F и D подключить вольтметр, его показание будет равно нулю. Даже если точки F и D соединить накоротко, в цепи ничего не изменится и ток через перемычку не пойдёт.

Казалось бы, и в рассматриваемой задаче о подключении вольтметра к точкам A и B проводящего кольца, охватывающего сердечник трансформатора, мы получим нулевое показание вольтметра, так как и здесь напряжение между любыми двумя точками кольца равно нулю. Однако если провести такое измерение, то результат опыта будет удивителен: мало того, что вольтметр покажет не нуль, но его показания ещё будут зависеть от того, как расположены провода, соединяющие вольтметр с точками A и B, относительно сердечника трансформатора (рис. 18.3).

Рис. 18.3. Два способа подключения вольтметра к точкам A и B

Дело в том, что в схеме с источниками тока (рис. 18.2) цепь самого вольтметра никакой роли не играет, тогда как в рассматриваемом случае (рис. 18.3) вольтметр с подводящими проводами образует контур, в котором также наблюдается явление электромагнитной индукции.

Как известно, показание вольтметра пропорционально протекающему через него току: когда ток через вольтметр равен I_в, показываемое им напряжение U_в равно I_вR_в, где R_в– внутреннее сопротивление вольтметра. Чтобы выяснить, каким будет показание вольтметра при подключении его по первому способу (рис. 18.3а), применим к замкнутому контуру, содержащему участок кольца AB, соединительные провода и вольтметр, второе правило Кирхгофа. Поскольку рассматриваемый контур не охватывает сердечника, то ЭДС индукции в нем равна нулю. В результате уравнение, получающееся при обходе этого контура, имеет вид

IR

_AB

–

I

_в

R

_в

=

0,

(3)

где I - ток в кольце. Ток I можно считать одинаковым во всех участках кольца,

так как по условию вольтметр идеальный, и, следовательно, током, ответвляющимся в вольтметр, можно пренебречь по сравнению с током в кольце. В данном случае это означает, что его сопротивление R_в много больше сопротивления R кольца. Поскольку для всего кольца справедливо

IR

=

E

,

(4)

а сопротивление R_AB участка AB составляет одну треть сопротивления R кольца, то из (3) получаем

U

_в

=

I

_в

R

_в

=

1/3

E

.

(5)

Итак, показание вольтметра действительно отлично от нуля, хотя он подключён к точкам кольца, напряжение между которыми равно нулю. Так происходит потому, что в данном случае и в подводящих проводах действуют сторонние силы. Разумеется, тот же результат (5) можно получить, рассматривая другой замкнутый контур, содержащий вольтметр с подводящими проводами и участок BCA кольца (рис. 18.3а). Такой контур охватывает сердечник, и действующая в нем ЭДС индукции равна E. Уравнение, получающееся при обходе этого контура, имеет вид

IR

_BCA

+

I

_в

R

_в

=

E

.

(6)

Поскольку IR_BCA=I·²/₃R=²/₃E, то из (6) снова получаем

U

_в

=

I

_в

R

_в

=

¹

/

₃

E

.

(7)

Совершенно аналогично можно найти показываемое вольтметром напряжение при подключении его к точкам A и B по второму способу (рис. 18.3б). ЭДС индукции в контуре, содержащем вольтметр с проводами и участок AB кольца, равна E. Поэтому уравнение при обходе этого контура имеет вид

IR

_AB

+

I

_в

R

_в

=

E

.

(8)

Поскольку IR_AB=I·¹/₃R=¹/₃E то для показания вольтметра получаем U_в=I_вR_в=²/₃E. Такой же результат получится, если воспользоваться контуром, содержащим участок BCA, в котором ЭДС индукции равна нулю.

Таким образом, показания вольтметра действительно оказываются разными в случаях а и б на рис. 18.3, несмотря на то что он подключается к одним и тем же точкам. Урок, который можно вынести из этой задачи, заключается в том, что относиться к аналогиям в физике следует с известной осторожностью. Использование аналогий приносит большую пользу, но избежать подводных камней при этом можно лишь при достаточно глубоком понимании рассматриваемого физического явления. Аналогия никогда не означает тождественности, поскольку даже в очень похожих явлениях разной физической природы всегда имеются свои особенности.