Физика в примерах и задачах
Шрифт:
При решении задачи мы считали, что область, в которой существует магнитное поле, имеет резкую границу (рис. 20.1, 20.2). Именно следствием этого предположения является существование изломов на графиках скорости при t=0 (рис. 20.3). Так как у любого реального магнита спадание магнитного поля происходит постепенно, то в действительности движению рамки соответствуют графики со сглаженными изломами.
При решении задачи мы не учитывали и самоиндукцию падающей рамки, благодаря которой индукционный ток, строго говоря, не равен значению, даваемому формулой (3). Этим эффектом действительно можно пренебречь, когда внешнее магнитное поле B много больше магнитного поля, создаваемого самим индукционным током.
21. Переходные процессы в электродвигателе.
Как
Рис. 21.1. Линейная модель электродвигателя постоянного тока с независимым возбуждением
Электродвигатель постоянного тока - это довольно сложное устройство, хотя принцип его действия очень прост. Он основан на том, что на находящийся во внешнем магнитном поле проводник с током действует сила Ампера. Поэтому понять происходящие в электродвигателе процессы можно, рассматривая его простейшую модель, которая выглядит следующим образом (рис. 21.1). По гладким горизонтальным параллельным контактным шинам может без трения перемещаться металлический стержень, электрическое сопротивление которого равно R. Вся система помещена в однородное магнитное поле, индукция B которого направлена перпендикулярно плоскости, образованной шинами. К концам шин приложено постоянное напряжение U. При прохождении тока на стержень действует сила Ампера F, которая может вызвать его перемещение но шинам. В таком устройстве подвижный стержень является аналогом якоря электродвигателя, так как при его перемещении может быть совершена работа над внешними телами.
Это же устройство может служить и моделью генератора постоянного тока, если не подавать напряжение на шины, а с помощью внешней силы привести стержень в движение. Такая модель наглядно показывает, почему электродвигатели постоянного тока обладают свойством обратимости.
Процесс установления постоянной скорости движения якоря для такого электродвигателя, работающего в режиме генератора, уже был рассмотрен в предыдущей задаче. В разобранном там примере (рамка, падающая в магнитном поле) роль постоянной внешней силы, приводящей якорь в движение, играла сила тяжести, а роль внешней нагрузки и внутреннего сопротивления генератора играло сопротивление рамки. Так как внешняя нагрузка генератора и обмотка его якоря образуют последовательную электрическую цепь, то процессы установления в нагружённом генераторе и в короткозамкнутом ничем принципиально не отличаются. Разным будет только характерное время установления , так как оно зависит от полного сопротивления цепи.
Замеченная аналогия с предыдущей задачей позволяет сразу наметить путь для анализа рассматриваемой модели в режиме электродвигателя. Для этого нужно написать уравнение, определяющее силу тока в цепи, и уравнение движения стержня. Так как ЭДС индукции пропорциональна скорости стержня: Ei=Blv (рис. 21.1), то
IR
=
U
–
Blv
.
(1)
Обозначим действующую на стержень внешнюю силу через F (рис. 21.1). Так как сила Ампера F=IBl, то уравнение второго закона Ньютона для стержня массы m записывается в виде
mdv
dt
=
IBl
–
F
.
(2)
Это уравнение после подстановки в него значения тока из уравнения (1) принимает вид
dv
dt
=
1
m
UBl
R
–
F
–
B^2l^2
mR
v
.
(3)
Выражение в круглых скобках в правой части этого уравнения положительно, если рассматриваемое устройство
Значение скорости стержня в установившемся режиме, когда dv/dt, можно найти, приравнивая нулю правую часть уравнения (3):
v
=
1
Bl
U
–
RF
Bl
.
(4)
Разумеется, это значение можно найти и из энергетических соображений, аналогично тому, как это делалось в предыдущей задаче или в задаче 10, где рассматривался установившийся режим работы двигателя.
Для исследования переходного процесса в рассматриваемой системе нужно решить уравнение (3). С помощью выражения (4) для v перепишем это уравнение в более компактном виде
dv
dt
=-
v-v
.
(5)
где использовано обозначение
=
mR
B^2l^2
.
(6)
Будем считать, что в момент включения в сеть якорь мотора был неподвижен: v(0)=0. Решение уравнения (5), удовлетворяющее такому начальному условию, запишется в виде
v(t)
=
v
1
–
exp
–
t
.
(7)
График скорости стержня показан на рис. 21.2. Длительность процесса (7) установления скорости характеризуется временем , выражаемым формулой (6).
Рис. 21.2. Установление скорости якоря и тока в якоре в режимах холостого хода и при механической нагрузке F
Полученные результаты, описывающие процесс установления, справедливы при любой допустимой механической нагрузке двигателя, в том числе и для холостого хода, которому соответствует F=0. В этом случае установившееся значение скорости v=U/Bl, а зависимость скорости от времени даётся формулой
v(t)
=
U
Bl
1
–
exp
–
t
.
(8)
Если подставить скорость v(t) в уравнение (1), то можно получить зависимость от времени потребляемого двигателем тока. В режиме холостого хода эта зависимость имеет вид
I(t)
=
U
R
exp
–
t
.
(9)
График тока показан на рис. 21.2. В начальный момент при неподвижном якоре ток максимален и равен U/R. Затем по мере разгона якоря ток экспоненциально уменьшается до нуля. Точно так же зависит от времени и потребляемая мощность P=UI(t).
При включении в сеть двигателя с механической нагрузкой (роль которой, в частности, может играть даже трение в подшипниках) максимальное значение тока в начальный момент будет таким же, как и для холостого хода, и равным U/R. Затем по мере разгона якоря ток убывает, но стремится не к нулю, а к определённому значению I которое легко найти из того условия, что в установившемся режиме сила Ампера IBl уравновешивает внешнюю силу F:
I
=
F
Bl
.
<