Физика в примерах и задачах
Шрифт:
v
max
=
gT
4
=
g
2
.
Итак, возможны три режима движения монеты на вибрирующей подставке в зависимости от значения безразмерного параметра ^2A/g Как мы видели, при ^2A/g<1 монета будет двигаться вместе с подставкой. При значениях этого параметра, превосходящих единицу, только часть периода монета будет двигаться вместе с подставкой. Такой режим движения осуществляется, пока параметр ^2A/g не достигнет значения 1+^2/4. Чтобы убедиться в этом, достаточно сообразить, что переход к третьему режиму, при котором монета всё время проскальзывает относительно подставки, происходит тогда, когда
g
=
2A
cos t
.
Подставляя сюда
cos t
=
1-sin^2t
=
1-(g/^2A)^2
находим предельное значение интересующего нас параметра:
^2A
g
=
1+^2/4
.
Видно, что переход от одного режима движения к другому возможен при увеличении либо частоты, либо амплитуды колебаний A, либо при уменьшении коэффициента трения .
3. Комбинированный маятник.
Рис. 3.1. Колебания такого маятника обусловлены как силой тяжести, так и силами упругости
Рассмотрим маятник, изображённый на рис. 3.1. Лёгкий стержень длины l подвешен на оси в точке A таким образом, что он может двигаться в плоскости чертежа. К грузу массы m на конце стержня прикреплены одинаковые пружины жёсткости k, расположенные горизонтально в этой же плоскости. Другие концы пружин закреплены неподвижно. Найти частоту малых собственных колебаний такого маятника в отсутствие трения. Массами стержня и пружин пренебречь.
Если бы пружины отсутствовали, то рассматриваемая система представляла бы собой обычный математический маятник, совершающий колебания в поле тяжести. Частота собственных колебаний такого маятника зависит от ускорения свободного падения g и от длины стержня l:
^2
=
g
l
.
(1)
Наоборот, в отсутствие силы тяжести данная система превращается в обычный пружинный маятник, у которого масса m колеблется горизонтально около своего положения равновесия под действием упругих сил. Так как на тело действуют две пружины, то выражение для частоты собственных колебаний такого пружинного маятника имеет вид
^2
=
2k
m
.
(2)
Нетрудно получить выражение для частоты собственных колебаний рассматриваемого комбинированного маятника, когда на его движение влияют и сила тяжести, и упругие силы деформированных пружин. Для этого, как обычно, нужно рассмотреть силы, действующие на выведенный из равновесного положения маятник, и написать уравнение второго закона Ньютона.
Рис. 3.2. К вычислению сил, действующих на смещённый из положения равновесия груз
Пусть груз смещён из положения равновесия вправо на расстояние x (рис. 3.2). В этом положении на груз в горизонтальном направлении действуют две силы F и F, направленные к положению равновесия. Сила F обусловлена действием поля тяжести. Если отклонение x мало по сравнению с длиной маятника l (|x|< F =- mgx l (3) Сила F представляет собой равнодействующую
F
=
k(s-x-s)
–
k(s+x-s)
=-
2kx
.
(4)
Отметим, что сила F направлена всегда к положению равновесия и не зависит от того, растянуты или сжаты пружины при равновесном положении груза.
С учётом выражений (3) и (4) уравнение второго закона Ньютона записывается в виде
ma
=-
mgx
l
–
2kx
.
(5)
Обозначим, как это обычно принято, ускорение a, равное второй производной смещения x по времени, через x. Тогда уравнение (5) можно переписать следующим образом:
x
+
(g/l+2k/m)
x
=
0.
(6)
Итак, второй закон Ньютона для рассматриваемой системы приводит к дифференциальному уравнению гармонических колебаний, квадрат частоты которых ^2 равен коэффициенту при x:
^2
=
g/l
+
2k/m
.
(7)
Сравнивая эту формулу с выражениями (1) и (2), убеждаемся, что квадрат частоты собственных колебаний комбинированного маятника равен сумме квадратов частот и , которые являются частотами собственных колебаний маятника при действии каждой из причин, вызывающих колебания, в отдельности:
^2
=
^2
+
^2
.
(8)
Подмеченное свойство является довольно общим для колебательных процессов разной природы: если какая-либо физическая величина может совершать собственные колебания под действием нескольких причин, то при одновременном действии этих причин частота колебаний удовлетворяет правилу (8).
Полученный результат (7) или (8), разумеется, удовлетворяет предельным случаям, когда или жёсткость пружин, или сила тяжести стремятся к нулю. Интересен предельный случай, когда неограниченно возрастает длина стержня l. При l-> мы приходим к такому же результату, как и при g->0. Роль стержня в этом случае сводится лишь к тому, чтобы поддерживать груз, совершающий колебания под действием пружин.
4. Несимметричный маятник.
Рис. 4.1. При вертикальном положении маятника резинка не растянута
У такого же, как и в предыдущей задаче, маятника вместо пружин с одной стороны к грузу прикреплена гибкая резинка, проявляющая упругие свойства только при растяжении (рис. 4.1). Когда маятник расположен вертикально, резинка не натянута. Смещение груза вправо приводит к растяжению резинки, которое удовлетворяет закону Гука: F=-gx. При смещении груза влево резинка просто провисает. Найти период собственных колебаний такого несимметричного маятника.