Физика в примерах и задачах
Шрифт:
Пусть в момент времени t=0 подставка начинает двигаться вверх и её вертикальная координата изменяется по закону
y(t)
=
B
t
.
(1)
При этом вертикальная проекция ускорения
a
y
(t)
=-
^2
B
t
.
(2)
Чтобы найти момент времени t когда произойдёт отрыв монеты, нужно положить ay(t)=-g:
^2
B
t
=-
g
.
(3)
Рис. 1.1.
Графическое решение этого уравнения показано на рис. 1.1. Для того чтобы уравнение имело решение, т.е. действительно происходил отрыв монеты от подставки, должно выполняться условие ^2B>g. Поэтому минимальная амплитуда вертикальных колебаний, при которой монета отделяется от подставки, даётся формулой
B
min
=
g
^2
.
(4)
Чем выше частота колебаний, тем меньше эта амплитуда. Отрыв монеты происходит, как видно из рис. 1.1, при движении подставки вверх от среднего положения, когда её скорость уменьшается. Интересно отметить, что положение y точки отрыва при заданной частоте не зависит от амплитуды колебаний подставки. В самом деле, подставляя из (3) sin t=g/^2B в (1), находим y=g/^2.
До момента времени t подставка и монета движутся вместе. Начиная с момента t график движения монеты представляет собой параболу, которая имеет в точке t общую касательную с синусоидой.
При горизонтальных колебаниях подставки движение монеты определяется действующей на неё силой трения. Пока ускорение подставки не превышает по модулю максимального ускорения g которое может сообщить монете сила трения, монета движется вместе с подставкой. Если ускорение подставки в какой-то момент времени превысит это предельное значение, монета будет скользить по подставке. Уравнения для этого случая аналогичны уравнениям (1) и (2):
x(t)
=
A
sin t
,
a
x
(t)
=-
^2A
sin t
.
(5)
Минимальная амплитуда, при которой монета будет скользить по подставке, находится из условия
^2A
min
=
g
,
откуда
A
min
=
g
^2
.
(6)
Естественно, что эта амплитуда тем меньше, чем меньше коэффициент трения.
Отметим, что в задачах подобного рода представляет интерес не только выяснение условий, при которых монета отрывается от подставки или смещается относительно неё, но и исследование характера дальнейшего движения монеты как при вертикальных, так и при горизонтальных колебаниях подставки. Это даже более интересная, но и вместе с тем более трудная задача.
2. Движение
Как выглядит график скорости монеты, лежащей на подставке, которая совершает горизонтальные гармонические колебания с частотой и амплитудой A?
Как было выяснено в предыдущей задаче, при выполнении условия ^2A<=g монета будет двигаться вместе с подставкой. При этом график скорости монеты совпадает с графиком скорости подставки и представляет собой косинусоиду vx(t)=A cos t, показанную на рис. 2.1б. Поэтому интересен только противоположный случай ^2A>g, когда монета смещается относительно подставки.
Рис. 2.1. На интервалах t, t и t, t монета движется вместе с подставкой
На рис. 2.1а приведён график ускорения подставки ax(t)=A sin t, на котором указаны области, где модуль этого ускорения не превосходит значения g, т.е. максимального ускорения, которое сила трения может сообщить монете. Именно в эти интервалы времени (интервалы «захвата») монета могла бы двигаться вместе с подставкой.
Пусть до момента t (рис. 2.1) монета движется вместе с подставкой. В момент t происходит «срыв» монеты, и трение покоя заменяется трением скольжения. Так как сила трения скольжения постоянна, то дальнейшее движение монеты в инерциальной системе отсчёта (т.е. в лабораторной системе отсчёта, а не относительно подставки) происходит с постоянным ускорением. Поэтому график скорости монеты, начиная с момента t представляет собой прямую линию, наклон которой определяется силой трения скольжения. Если считать, что эта сила равна максимальной силе трения покоя, то данная прямая касается синусоиды в момент «срыва» t.
Характер дальнейшего движения монеты зависит от того, в какой момент времени её скорость снова станет равной скорости подставки. Если это случится в пределах интервала «захвата», например в момент t (рис. 2.1), то в течение промежутка от t до границы интервала «захвата» t монета движется вместе с подставкой. В момент t снова происходит «срыв», и дальнейшее движение опять происходит с таким же по модулю ускорением, но направленным в противоположную сторону. В момент t скорости монеты и подставки опять сравниваются, и они движутся вместе до очередного «срыва», происходящего в момент t. Дальше всё повторяется сначала. Таким образом, график скорости монеты представляет собой «пилу», состоящую из отрезков синусоид и прямых линий (рис. 2.1б).
Рис. 2.2. Монета всё время проскальзывает относительно подставки
Теперь рассмотрим случай, когда скорости монеты и подставки сравниваются за пределами следующего интервала «захвата» (рис. 2.2). График скорости монеты теперь будет состоять из прямолинейных отрезков, наклон которых, равный ускорению монеты ±g, определяется силой трения скольжения. Изломы на этом графике соответствуют моментам изменения направления силы трения. Это происходит при изменениях направления относительной скорости, т.е. при пересечении прямых с синусоидой графика скорости подставки. Высота зубцов такой «пилы», т.е. максимальное значение скорости монеты vmax, равно произведению наклона g на четверть периода колебаний подставки: