Физика в примерах и задачах
Шрифт:
Рис. 20.2. При появлении индукционного тока I возникает сила Ампера F
Но всё изменится, как только нижняя сторона рамки выйдет за пределы полюсов магнита, т.е. области, где существует магнитное поле (рис. 20.2). Теперь при движении рамки пронизывающий её магнитный поток убывает и в рамке течёт индукционный ток. В результате на верхнюю горизонтальную сторону рамки, находящуюся в магнитном поле, действует сила Ампера F. Эта сила, в соответствии с правилом Ленца для индукционного тока, направлена вверх, т.е. стремится уменьшить внешнее
Поскольку действующая на верхнюю сторону рамки сила Ампера F равна IBl (l - длина этой стороны), то уравнение второго закона Ньютона для падающей рамки имеет вид
mdv
dt
=
mg
–
IBl
.
(1)
Здесь m - масса рамки. Индукционный ток I зависит от сопротивления рамки R и ЭДС индукции Ei. ЭДС индукции равна скорости изменения магнитного потока через рамку:
E
i
=
Blv
,
(2)
поэтому
I
=
Blv
R
.
(3)
Подставляя индукционный ток (3) в уравнение второго закона Ньютона (1), получаем
dv
dt
=
g
–
B^2l^2
mR
v
.
(4)
Если к тому моменту, когда нижняя сторона рамки выходит из магнитного поля, скорость рамки невелика, так что первое слагаемое в правой части (4) больше второго, то рамка продолжает разгоняться, хотя и с меньшим ускорением. Если же рамка уже разогналась настолько, что второе слагаемое больше первого, то она начинает тормозиться.
Уравнение (4) имеет такой же вид, как и уравнение, описывающее разгон корабля под действием постоянной тяги винтов при учёте силы сопротивления, пропорциональной скорости корабля (см., например, задачу 9 раздела «Механика жидкостей»). Точно такое же уравнение описывает и процесс падения тяжёлого шарика в вязкой жидкости. Во всех случаях скорость тела изменяется до тех пор, пока сила сопротивления не сравняется по модулю с постоянной внешней силой.
Это значение скорости v соответствующее установившемуся движению, легко найти с помощью (4), даже не решая этого дифференциального уравнения. При установившемся движении dv/dt=0, и для скорости v, приравнивая нулю правую часть (4), получаем
v
=
mgR
B^2l^2
.
(5)
Скорость установившегося падения v можно найти и из энергетических соображений, не прибегая к уравнениям движения. При падении рамки с постоянной скоростью её кинетическая энергия остаётся неизменной, потенциальная энергия уменьшается, и поэтому выделяющаяся в рамке джоулева теплота равна убыли её потенциальной энергии в поле тяжести:
I^2R
=
mgv
.
(6)
Подставляя сюда значение индукционного тока I из формулы (3), приходим к прежнему значению v, выраженному формулой (5).
Сколько времени происходит
dv
dt
=-
v-v
,
(7)
где использовано обозначение
=
mgR
B^2l^2
.
(8)
Так как производные по времени от v и (v-v) совпадают, то уравнение (7) говорит о том, что скорость изменения величины v-v пропорциональна самой этой величине. Поэтому решение уравнения (7) имеет вид
v-v
=
C exp(-t/)
.
(9)
Из формулы (9) видно, что значение постоянной C равно отличию начальной скорости v=v при t=0 от скорости установившегося движения рамки v: C=v-v Видно также, что отличие мгновенной скорости от установившейся v-v затухает со временем экспоненциально с характерным временем , определяемым соотношением (8).
Таким образом, зависимость скорости от времени с того момента, как на рамку начинает действовать сила Ампера, согласно выражению (9) имеет вид
v(t)
=
(v-v)
exp (-t/)
+
v
.
(10)
Это выражение для скорости справедливо, разумеется, только до того момента, пока верхняя сторона рамки не выйдет за пределы магнитного поля (рис. 20.2).
Рис. 20.3. Скорость рамки стремится к определённому значению v независимо от величины начальной скорости v
Графики скорости рамки показаны на рис. 20.3. Верхний график соответствует случаю, когда к моменту появления силы Ампера (t=0) скорость рамки v меньше предельного значения v. Нижний график - случаю, когда v>v. Наклонные прямолинейные участки графиков при t<0 соответствуют свободному падению рамки до появления силы Ампера. Расстояние, которое проходит рамка за характерное время установления , равно площади, за штрихованной на этих графиках. Для оценки можно считать, что по порядку величины эта площадь равна v. Если длина вертикальной стороны рамки l много меньше этого расстояния v, то ни о каком установлении скорости рамки говорить не приходится. Для установления скорости необходимо выполнение неравенства
l
v
=
g
mR
B^2l^2
^2
.
(11)
Только при выполнении этого условия магнитное поле заметно сказывается на движении рамки. Интересно отметить, что к этому условию можно прийти из других, более наглядных соображений. В самом деле, магнитное поле может существенно повлиять на движение рамки только в том случае, когда при свободном падении за время установления рамка прошла бы расстояние, меньшее её вертикального размера l: lg^2 Подставляя сюда значение из формулы (8), приходим опять к условию (11).