Физика в примерах и задачах
Шрифт:
получим систему уравнений для деления и :
(^2-^2)
+
^2
=
0,
^2
+
(^2-2^2)
=
0,
(4)
Сразу видно, что система уравнений (4) имеет решение =0 и =0, которое соответствует маятнику в положении равновесия. Но эта система имеет и ненулевые решения. Для их нахождения исключим, например, из этих уравнений. Тогда для получим уравнение
[(^2-^2)
(^2-2^2)
–
^2^2]
=
0.
(5)
Очевидно,
–
4^2^2
+
=
0.
(6)
Уравнение (6), являющееся условием существования ненулевых решений системы уравнений (4), определяет частоты возможных круговых движении двойного маятника
1,2
^2
=
^2
(2±
2
)
.
(7)
Мы видим, что круговые движения двойного маятника могут происходить с двумя разными частотами. Для того чтобы найти соотношение углов и , соответствующее каждому из этих движений, нужно подставить по очереди найденные значения частот в одно из уравнений (4). Подставим сначала, например, в первое из уравнений (4) корень ^2=^2=^2(2-2). После приведения подобных членов получаем
=
2
(при ^2=^2(2-
2
))
.
(8)
Если бы мы подставили корень ^2 во второе из уравнений (4), то получили бы точно такое же значение отношения /. Таким образом, уравнения (4) дают возможность определить не сами углы и , a только соотношение между ними. Это означает, что круговое движение двойного маятника с данной частотой возможно при разных значениях раствора конуса (но, разумеется, с определённым соотношением /).
Теперь подставим в первое из уравнений (4) другой корень ^2=^2=^2(2+2). Приведя подобные члены, для отношения углов отклонения нитей получим
=-
2
(при ^2=^2(2+
2
))
.
(9)
Знак минус в этом отношении может означать только то, что при круговом движении двойного маятника нити отклонены от вертикали в противоположные стороны. Такое движение показано на рис. 8.4. О том, что оно возможно, тоже можно было догадаться заранее.
Рис. 8.4. Другое возможное движение двойного маятника
Таким образом, двойной маятник может совершать два вида круговых движений: движение с меньшей частотой происходит так, как показано на рис. 8.2, а движение с большей частотой - как показано на рис. 8.4. Каждому движению соответствует определённая конфигурация нитей. Всё это легко наблюдать
Каждому виду круговых движений двойного маятника соответствует своё нормальное колебание. Проецируя круговое движение на вертикальную плоскость, мы получаем картину соответствующего нормального колебания. Легко видеть, что при нормальном колебании двойного маятника с частотой =(2-2) 1/2 =0,77 движение шариков происходит в одинаковой фазе, причём отношение их амплитуд, как следует из формул (2), равно
r
r
=
1
+
=
1
+
2
=
2,41
.
При нормальном колебании с частотой =(2+2) 1/2 =0,77 шарики совершают колебания в противофазе, а отношение их амплитуд равно
|r/r|
=
2
–
=
0,41
.
У двойного маятника с различными длинами верхней и нижней нитей и различными массами шариков частоты нормальных колебаний и отношения амплитуд колебаний шариков будут иными, но качественно вся картина нормальных колебаний остаётся прежней.
Чтобы возбудить нормальные колебания двойного маятника, можно, например, отклонить нити от вертикали на углы и , удовлетворяющие соотношениям (8) или (9), и отпустить шарики одновременно без начального толчка. Но нормальные колебания на опыте можно возбудить и иначе, используя явление резонанса. Для этого можно, взявшись за нить вблизи точки подвеса, осторожно раскачивать её с частотой, близкой к частоте одного из нормальных колебаний. Амплитуда соответствующего нормального колебания быстро нарастает, если мы попадаем в резонанс.
9. Вынужденные колебания.
Точка подвеса математического маятника длиной l движется под действием внешней силы в горизонтальном направлении по закону x(t)=xsin t. Найти установившиеся вынужденные колебания маятника.
Задача состоит в нахождении установившихся вынужденных колебаний маятника. При нахождении вынужденных колебаний будем пренебрегать трением, однако необходимо отчётливо представлять себе, что установление колебаний принципиально возможно лишь при наличии затухания. С одной стороны, мы собираемся решать задачу без учёта сил трения, а с другой стороны, как только что отмечено, силы трения необходимы.
Будет ли полученное решение иметь смысл? Да, будет, но только оно будет описывать движение маятника с малым затуханием спустя достаточно большой промежуток времени после того, как точка подвеса приведена в движение. Слова «достаточно большой промежуток времени» означают здесь, что, несмотря на малое затухание, переходный процесс уже закончился.
Из условия задачи нам известны амплитуда x и круговая частота колебаний точки подвеса. Очевидно, что вынужденные колебания будут происходить с той же самой частотой , в то время как частота свободных колебаний этого маятника =g/l Основная идея решения заключается в том, чтобы представить вынужденные колебания данного маятника как свободные колебания некоторого другого маятника. Очевидно, что длина этого маятника L должна определяться из условия =g/l. Здесь могут встретиться разные случаи: частота со может быть меньше, больше или равна собственной частоте свободных колебаний данного математического маятника.