Физика в примерах и задачах
Шрифт:
Таким образом, период колебаний обруча
T
=
4
R/g
.
Подчеркнём, что даже малые колебания такой системы не являются гармоническими и их период зависит от амплитуды .
13. Волны во вращающемся кольце.
Кольцевой резиновый жгут раскручен вокруг оси, перпендикулярной плоскости кольца (рис. 13.1). Линейная скорость элементов жгута равна v. С какой скоростью будут распространяться по такому кольцу поперечные волны малой амплитуды?
Рис. 13.1.
Упругая поперечная волна в гибком резиновом жгуте может распространяться только в случае, если этот жгут натянут. Предварительное натяжение необходимо потому, что ненатянутый жгут, в отличие от твёрдого тела, обладает упругостью только по отношению к деформации растяжения, но не сжатия. В рассматриваемом примере сила натяжения кольцевого жгута обусловлена его вращением. Найдём эту силу натяжения.
Рис. 13.2. К вычислению силы натяжения вращающегося резинового жгута
Выделим мысленно на вращающемся жгуте элемент l, характеризуемый малым углом (рис. 13.2). Силы F и F, действующие на выделенный элемент со стороны соседних участков, направлены по касательной к окружности. Модуль этих сил F - это и есть интересующая нас сила натяжения жгута. Равнодействующая сил F и F сообщает выделенному элементу жгута центростремительное ускорение v/R. Масса выделенного элемента равна Sl=SR где - плотность резины, S - площадь поперечного сечения жгута. Поэтому на основании второго закона Ньютона имеем
F
=
SRv^2
R
(1)
откуда
F
=
Sv^2
.
(2)
Рис. 13.3. В некоторый момент времени горб, бегущий по жгуту, будет пеподвижен во вспомогательной системе отсчёта K
Предположим теперь, что по этому кольцу распространяется упругая волна, в которой смещение элементов жгута происходит в направлении, перпендикулярном равновесной плоскости жгута. Пусть эта волна распространяется, например, в ту же сторону, в какую вращается кольцо. Для того чтобы найти скорость распространения этой волны в жгуте u, поступим следующим образом. Перейдём в новую систему отсчёта K, в которой в некоторый момент времени окажется неподвижным определённый выделенный горб волны (рис. 13.3). Ясно, что эта система отсчёта движется равномерно со скоростью u+v в направлении касательной к окружности, образуемой вращающимся жгутом. Выделенный горб будет в этой системе отсчёта неподвижен в тот момент, когда его скорость окажется параллельной скорости введённой системы отсчёта. В этот момент горб будет выглядеть застывшим, а вещество жгута будет скользить вдоль застывшего горба со скоростью u налево (рис. 13.4). Поскольку новая система отсчёта является инерциальной, в ней также справедлив второй закон Ньютона. Применим его к движению элемента жгута, проходящего через вершину горба. Этот элемент движется со скоростью u по дуге окружности некоторого радиуса r, которая лежит в вертикальной плоскости и показана штриховой линией на рис. 13.4. Проекция уравнения второго закона Ньютона на вертикальное направление при движении по этой окружности записывается в виде
F
=
Sru^2
r
(3)
Рис. 13.4.
Отсюда для квадрата скорости распространения поперечной волны по жгуту имеем
u^2
=
F
S
.
(4)
Ясно, что такое же выражение для скорости волны будет справедливо и в случае прямолинейного жгута, натяжение которого создаётся внешними силами.
Подставляя в формулу (4) выражение для силы натяжения F через скорость вращающегося жгута v из (2), находим, что u=v. Другими словами, скорость поперечных волн относительно жгута, сила натяжения которого обусловливается его вращением, совпадает с линейной скоростью вращения жгута. Поэтому волны, которые бегут в ту же сторону, куда вращается жгут, движутся относительно неподвижного наблюдателя со скоростью 2v, а волны, бегущие навстречу вращению жгута, кажутся такому наблюдателю неподвижными.
14. Возбуждение волн в струне.
Рис. 14.1. Конец струны приводится в движение по гармоническому закону
Конец натянутой упругой струны приводится в гармоническое колебательное движение с амплитудой A и частотой с помощью устройства, схема которого показана на рис. 14.1. Какую мощность развивает двигатель, приводящий его в движение? Во что превращается затраченная энергия? Что происходит на другом конце струны? Каким образом можно добиться того, чтобы там не происходило отражения волны?
Рис. 14.2. Со стороны стержня на конец струны действует сила F
Для того чтобы описать вынужденное движение струны, введём оси координат x и z так, как показано на рис. 14.2: ось z совпадает с равновесным положением струны, а ось x направлена вдоль стержня, приводящего конец струны в движение. Выберем начало отсчёта времени так, чтобы смещение левого конца струны давалось выражением
x(t)
=
A
cos t
.
(1)
Вынужденные колебания левого конца струны приводят к появлению в струне упругой волны, распространяющейся направо вдоль оси z. Скорость u такой волны, как было выяснено в предыдущей задаче, зависит от предварительной силы натяжения струны F, плотности материала струны р и площади её поперечного сечения S:
u^2
=
F
S
.
(2)
При распространении волны поперечное смещение x любой точки струны, имеющей в равновесии координату z, повторяет движение левого конца спустя промежуток времени z/u, который требуется для того, чтобы волна распространилась на расстояние z:
x(z,t)
=
x(0,t-z/u)
=
A
cos (t-z/u)
(3)
Для того чтобы найти развиваемую двигателем мощность, нужно знать силу F, с которой стержень действует на левый конец струны. Струна действует на стержень с равной по модулю и противоположной по направлению силой F (рис. 14.2). Для гибкой струны, проявляющей упругие свойства только при деформации растяжения, сила натяжения в любой точке направлена по касательной. Поэтому действующая на стержень сила F направлена под углом к оси z, тангенс которого, как видно из рис. 14.2, равен производной dx/dz при z=0: