Физика в примерах и задачах

Кондратьев Александр Сергеевич

Принцип Гюйгенса позволяет установить законы, описывающие поведение световой волны на границе раздела двух прозрачных сред. В приближении геометрической оптики для задания положения волновых поверхностей можно ввести лучи, т.е. линии, перпендикулярные волновым поверхностям. Лучи света характеризуют направление распространения волны. Вытекающие из принципа Гюйгенса правила нахождения лучей для отражённой и преломлённой волн представляют собой хорошо известные законы геометрической оптики.

Основные законы геометрической оптики - закон прямолинейного распространения света в однородной среде, законы отражения и преломления света на границе двух сред - могут быть получены и с помощью принципа Ферма. Согласно этому принципу действительный путь луча света есть путь, для прохождения

которого, свету требуется экстремальное (как правило, минимальное) время по сравнению с любым другим близким к действительному мыслимым путём между теми же точками. Хотя такая формулировка принципа Ферма и не вполне точна, она достаточна для понимания рассматриваемых ниже примеров.

Поскольку скорость света в среде с показателем преломления n равна c/n, принцип Ферма можно сформулировать как требование минимальности оптической длины луча при распространении света между двумя заданными точками. Под оптической длиной луча понимается произведение показателя преломления среды на длину луча. В неоднородной среде оптическая длина луча складывается из оптических длин на отдельных участках, которые можно считать однородными. Использование принципа Ферма позволяет рассмотреть некоторые задачи с несколько иной точки зрения, чем при непосредственном применении законов отражения и преломления. Например, при рассмотрении фокусирующей оптической системы вместо применения закона преломления света на искривлённой поверхности можно просто потребовать равенства оптических длин всех фокусируемых лучей.

1. Секстант и катафот.

Два плоских зеркала образуют двугранный угол . На одно из зеркал падает луч, лежащий в плоскости, перпендикулярной ребру угла. Определить угол отклонения луча от первоначального направления после отражения от обоих зеркал. Ход лучей показан на рис. 1.1.

Рис. 1.1. Падающий луч, испытав отражение от двух зеркал, изменяет направление на угол

Пусть угол падения луча на первое зеркало равен , а на второе - . Очевидно, что угол как внешний угол треугольника, образованного лучами, равен 2(+). С другой стороны, (+)=, потому что как угол , так и углы + дополняют угол до . Поэтому =2 Самое интересное, что этот угол не зависит от угла падения луча на зеркало! Именно это свойство и позволило использовать такую систему зеркал в навигационном приборе, называемом секстантом. Секстантом измеряют высоту светила над горизонтом, т.е. угол между направлениями на горизонт и на звезду (рис. 1.2). Делается это в неблагоприятных условиях, например на качающейся палубе корабля. Прибор можно держать трясущимися руками, при этом важно только точно зафиксировать угол . Одно из зеркал полупрозрачное. Наблюдая сквозь него линию горизонта, изменением угла совмещают с ней видимое в этом зеркале изображение светила (рис. 1.2). Затем значение угла считывается со шкалы прибора.

Рис. 1.2. Принципиальная схема секстанта

Обратим внимание на частный случай, когда зеркала образуют между собой прямой угол. Тогда = и падающий луч в результате двух отражений поворачивает в обратном направлении (рис. 1.3). Напомним, что это справедливо только в том случае, когда падающий луч лежит в плоскости, перпендикулярной ребру двугранного угла между зеркалами.

Рис. 1.3. Луч, лежащий в плоскости чертежа, отражается назад, если зеркала образуют прямой угол

Рис. 1.4. Вогнутая ячейка из трёх плоских взаимно перпендикулярных зеркал образует уголковый отражатель

А можно ли сделать устройство,

в котором падающий луч при любых условиях отражался бы назад? Оказывается, что для этого достаточно добавить к двум зеркалам третье, расположив его таким образом, чтобы плоскости всех трёх зеркал были взаимно перпендикулярны, подобно координатным плоскостям декартовой системы (рис. 1.4). При произвольной ориентации падающего луча он, испытав отражение от каждого из зеркал, будет распространяться точно в обратном направлении. Убедиться в этом совсем несложно. На рис. 1.5а штриховкой показаны плоскость зеркала и плоскость падения луча. Видно, что проекции падающего и отражённого лучей на плоскость зеркала направлены вдоль одной и той же прямой MN (рис. 1.5б).

Рис. 1.5. Проекция падающего и отражённого лучей на плоскость зеркала выглядит так, как показано на рис. б, а проекция на плоскость Q - как на рис. в.

Проекции этих лучей на любую плоскость Q, перпендикулярную зеркалу, образуют равные углы с перпендикуляром к зеркалу (рис. 1.5в). Отсюда следует, что при отражении лучей от трёх взаимно перпендикулярных зеркал проекция лучей на плоскость любого из трёх зеркал выглядит так, как показано на рис. 1.6. Но раз проекция луча на любую из координатных плоскостей меняет направление на противоположное, то и сам луч в результате трёх отражений поворачивает точно назад. Такое устройство называется уголковым отражателем или катафотом и широко применяется на практике.

Рис. 1.6. В точке O луч отражается от третьего зеркала, лежащего в плоскости чертежа

Уголковые отражатели часто выполняют в виде срезанного угла стеклянного кубика, т.е. равносторонней трехгранной пирамиды. Боковые грани такого кубика делают зеркальными. Уголковые отражатели используются вместо зеркал в лазерных резонаторах и в дальномерах. Их преимущество в том, что они не требуют юстировки. Специальные уголковые отражатели были доставлены на Луну и использованы для точного измерения расстояния до неё с помощью лазерного излучения. Погрешность измерения составила всего лишь 0,1 м.

Наиболее распространённое применение катафотов - это красные отражатели света, устанавливаемые на автомобилях, велосипедах и дорожных знаках. Такой катафот представляет собой мозаику из зеркальных углов.

Рис. 1.7. Падающий на прозрачный шарик с n=2 луч после отражения направлен точно назад

Интересно отметить, что таким же свойством отражать падающий под любым углом свет точно в обратном направлении обладает оптический элемент, изображённый на рис. 1.7. Он представляет собой шарик из прозрачного материала с показателем преломления n=2 и с посеребрённой задней поверхностью. Нетрудно показать, что любой луч, проходящий внутри шарика не слишком далеко от центра, после отражения на задней поверхности выйдет из шарика в обратном направлении. Это свойство используют при изготовлении светоотражающей краски для дорожных знаков: в её состав вводят мелкие стеклянные шарики.

2. Солнечный зайчик.

Если пускать солнечный зайчик с помощью плоского зеркала прямоугольной формы, то на ближней стене форма светлого пятна повторяет форму зеркала, а на далёкой стене пятно имеет эллиптическую форму. Почему?

Зеркало ограничивает (подобно диафрагме) пучок падающих на него прямолинейных солнечных лучей и изменяет их направление. Изменение направления лучей при их отражении не играет принципиальной роли в вопросе о форме образующегося на стене освещённого пятна. Поэтому достаточно рассмотреть ограничение пучка солнечных лучей отверстием такой же формы и размеров, как и зеркало.