Физика в примерах и задачах
Шрифт:
Рассмотрим центральный луч и луч, проходящий на произвольном расстоянии x от оси. Для них имеем
Fn
=
y
+
n
(F-y)^2+x^2
.
Это и есть уравнение искомой поверхности.
Преобразуем это соотношение, чтобы выяснить форму полученной поверхности. Уединяя квадратный корень, и возводя обе части равенства в квадрат, получаем
(Fn-y)^2
=
n^2[
(F-y)^2
+
x^2]
.
После несложных преобразований это уравнение приводится к виду
x^2
a^2
+
(y-b)^2
b^2
=
1,
(1)
где
a
=
F
n-1
n+1
1/2
,
b
=
F
n
n+1
(a<b)
.
(2)
Уравнение (1) -
Рис. 6.3. Пучок параллельных лучей после преломления на поверхности эллипсоида вращения собирается в дальнем фокусе
Как известно, эллипс - это геометрическое место точек, сумма расстояний до которых от двух заданных точек, называемых фокусами, одинакова. Эта сумма равна большой оси эллипса 2b. Можно убедиться, что точка пересечения всех лучей (фокус пучка лучей) совпадает с дальним фокусом эллипса. Это совсем несложно, требуется лишь выполнить простые алгебраические преобразования.
Итак, мы нашли форму преломляющей поверхности, удовлетворяющей поставленному условию: все падающие на неё параллельным пучком лучи собираются в одной точке. Однако такой параллельный пучок не может быть сколь угодно широким: при заданном расстоянии F ширина пучка d не может, как видно из формулы (2), превышать значение
d
=
2a
=
2F
n-1
n+1
1/2
.
Теперь подумаем, как с помощью такой преломляющей поверхности можно создать линзу, свободную от сферической аберрации для параллельного пучка лучей. Очевидно, что вторая преломляющая поверхность такой линзы должна быть перпендикулярна всем сходящимся лучам, так как только в этом случае ома не изменит их направления и все лучи по-прежнему будут пересекаться в одной точке F. Такой поверхностью является сфера с центром в точке F. Чтобы получить линзу максимального диаметра при заданном расстоянии F, радиус R кривизны её внутренней поверхности следует выбирать равным большой полуоси эллипса b (рис. 6.4).
Рис. 6.4. Вторая поверхность фокусирующей линзы должна быть частью сферы, перпендикулярной лучам
До сих пор молчаливо предполагалось, что показатель преломления n>1, т.е. верхняя среда на рис. 6.2 оптически более плотная.
Однако если под символом n понимать относительный показатель преломления верхней среды относительно нижней, то имеет смысл рассмотреть и противоположный случай n<1, когда параллельный пучок лучей испытывает преломление при переходе из более плотной в менее плотную среду. Поскольку при выводе уравнения преломляющей поверхности условие n>1 не использовалось, то и в случае n<1 уравнение искомой границы по-прежнему даётся формулой (1), но только при n<1, как видно из (2), a^2<0. В этом случае выражение (1) представляет собой уравнение гиперболы, изображённой на рис. 6.5.
Рис. 6.5. При n<1 фокусирующая параллельный пучок поверхность представляет собой гиперболоид вращения
Чтобы с помощью такой преломляющей поверхности создать линзу, в качестве второй преломляющей поверхности следует выбрать плоскость в нижней среде, перпендикулярную оси пучка. Расстояние от этой плоскости
Казалось бы, нам удалось построить идеальную линзу, по крайней мере для монохроматических лучей. Однако такая линза совершенно непригодна для получения изображений даже бесконечно удалённых предметов. В самом деле, в одной точке пересекаются только лучи, параллельные оси симметрии такой линзы. Пучки параллельных лучей, наклонённые к оптической оси линзы, не пересекаются в одной точке.
7. Черенковское излучение.
При равномерном движении электрона в среде со скоростью, превышающей скорость света в данной среде, наблюдается так называемый эффект Вавилова - Черенкова. Он заключается в том, что электрон своим полем когерентно возмущает молекулы или атомы среды, благодаря чему они становятся источниками световых волн, распространяющихся в определённом направлении. Пользуясь принципом Гюйгенса, определите, в каком направлении распространяется излучение.
В среде с показателем преломления n>1 световые волны распространяются со скоростью v=c/n, которая меньше скорости света в вакууме.
Рис. 7.1. Построение по принципу Гюйгенса фронта волны, излучаемой электроном, скорость которого больше скорости света в данной среде
Для нахождения направления распространения черенковского излучения необходимо в какой-то момент времени определить положение фронта световой волны, возбуждаемой электроном при его движении. На рис. 7.1 изображена прямолинейная траектория равномерного движения электрона в среде. Каждую точку траектории электрона можно рассматривать как источник сферической световой волны, распространяющейся со скоростью v. Пусть A, B и C - точки траектории, в которых находился электрон через последовательные равные промежутки времени t. В тот момент времени, когда электрон находился в точке B фронт волны, возбуждённой им в точке A, представлял собой сферу, радиус которой vt меньше расстояния AB, поскольку скорость электрона vэл больше скорости света v в среде. В тот момент, когда электрон попадает в точку C, фронт волны, возбуждённой им в точке B, есть сфера радиуса vt, а фронт волны, возбуждённой в точке A, - сфера вдвое большего радиуса. Для построения фронта волны черенковского излучения в тот момент, когда электрон находится в точке C, по принципу Гюйгенса следует найти огибающую фронтов всех волн, возбуждённых электроном в предшествующие моменты времени. Из рис. 7.1 сразу видно, что эта огибающая представляет собой поверхность кругового конуса, ось которого совпадает с траекторией электрона, вершина находится в точке C, а угол между образующей конуса и его осью определяется соотношением
sin
=
v
vэл
.
Поскольку лучи света перпендикулярны фронту волны, черенковское излучение распространяется под углом к направлению движения электрона (рис. 7.2):
cos
=
sin
=
v
vэл
.
(1)
Рис. 7.2. Черенковское излучение распространяется под углом к направлению движения электрона
Мы построили фронт волны для того момента времени, когда электрон находится в точке C. С течением времени вершина конуса, совпадающая с положением электрона, перемещается вместе с ним со скоростью vэл. Приёмник излучения, находящийся в какой-либо точке D (рис. 7.2), зафиксирует отдельную вспышку света в тот момент, когда фронт волны черенковского излучения пройдёт через эту точку. На этом принципе работают черенковские счётчики заряженных частиц, широко используемые в ядерной физике.