Физика в примерах и задачах
Шрифт:
Если при описании релятивистских явлений в законах физики появляется универсальная постоянная c=2,998·10^1 см/с 1), которая представляет собой максимальную скорость распространения взаимодействий - скорость света в вакууме, то при описании явлений микромира появляется ещё одна фундаментальная константа h - постоянная Планка. Её значение равно 6,62·10– 27 эрг·с.
1) В этом разделе используется система единиц СГСЭ.
Наблюдаемые на опыте корпускулярные свойства света приводят к представлению о том, что электромагнитное излучение можно рассматривать как поток фотонов. Согласно квантовой теории энергия фотона пропорциональна частоте
E
=
h
.
(5)
Поскольку фотон не существует в состоянии покоя, то его масса покоя m равна нулю, а импульс в силу соотношений (4) и (5) даётся выражением
p
=
h
c
.
(6)
Фундаментальным законом физики микромира являются соотношения неопределённостей Гейзенберга, которые связывают между собой неопределённости в значениях какой-либо координаты частицы x и соответствующей проекции импульса px в один и тот же момент времени:
x
·
p
x
h
.
(7)
Невозможность приписать микрочастице одновременно точные значения координаты и соответствующей проекции импульса связана с проявлением двойственной корпускулярно-волновой природы микрообъектов. Волновые свойства микрообъектов характеризуются так называемой длиной волны де-Бройля , которая обратно пропорциональна импульсу частицы:
=
h
p
.
(8)
Корпускулярно-волновой дуализм заключается в том, что любая частица - фотон, электрон, протон, атом и т.д. - обладает потенциальной возможностью проявлять и корпускулярные, и волновые свойства, но ни в одном явлении они никогда не проявляются одновременно.
1. Принцип относительности.
Шарик массы m на нити длиной l висит неподвижно в однородном поле тяжести напряжённости g. В некоторый момент времени точка подвеса начинает двигаться в горизонтальном направлении с постоянной скоростью v (рис. 1.1). Как при этом будет двигаться шарик?
Рис. 1.1. В некоторый момент точка подвеса приводится в движение с постоянной скоростью v
Условие этой задачи очень простое, однако на первый взгляд совершенно не ясно, как к ней подступиться. С одной стороны, очевидно, что движение такой механической системы подчиняется законам классической механики Ньютона. С другой стороны, непонятно, как эти законы можно здесь применить.
Подсказкой к нахождению пути решения этой задачи может послужить то обстоятельство, что она помещена в разделе «Релятивистская и квантовая физика». То, что квантовая физика здесь ни при чем, сомнений не вызывает, поэтому остаётся выяснить, какое отношение может иметь эта задача, в которой рассматривается движение с заведомо нерелятивистскими скоростями, к теории относительности. Оказывается, что и к теории относительности эта задача тоже отношения не имеет. Но вот принцип относительности, лежащий в основе этой теории, причём в своей классической форме, сформулированный ещё Галилеем, имеет к этой задаче самое непосредственное отношение. Его использование позволяет сразу свести эту задачу к другой, хорошо известной.
Согласно принципу относительности Галилея законы, описывающие механические явления, во всех инерциальных
Рис. 1.2. В системе отсчёта, где точка подвеса неподвижна, шарик в начальный момент имеет скорость -v
В системе отсчёта, связанной с точкой подвеса, дальнейшее движение шарика будет происходить по-разному в зависимости от его начальной скорости. При небольшой начальной скорости система будет вести себя как математический маятник, совершающий малые почти гармонические колебания вблизи вертикального положения равновесия:
(t)
=
sin t
.
(1)
Частота равна частоте собственных колебаний математического маятника длины l: ^2=g/l. Выбор начальной фазы колебаний в уравнении (1) соответствует тому, что при t=0 маятник расположен вертикально и =0. Амплитуда колебаний также находится из начальных условий. Так как согласно формуле (1) угловая скорость маятника равна
(t)
=
cos t
,
(2)
то линейная скорость шарика при t=0 равна l. Приравнивая её начальной скорости v, находим угловую амплитуду :
=
v
l
.
(3)
Такое гармоническое колебательное движение маятника происходит только при небольшой амплитуде <<1, т.е., как видно из формулы (3), при
v
<<
l
=
gl
.
Если начальная скорость v не очень мала, т.е. не удовлетворяет приведённому неравенству, то колебания маятника будут происходить с большой амплитудой и уже не будут гармоническими. Но амплитуда колебаний, разумеется, не может превышать значения =/2. При такой амплитуде шарик в крайних положениях поднимается до уровня точки подвеса. Этому соответствует, как легко убедиться с помощью закона сохранения энергии, значение начальной скорости v=2gl. Если же начальная скорость больше этого значения, то шарик поднимется выше точки подвеса, однако он будет двигаться по окружности только до тех пор, пока сила натяжения нити не обратится в нуль. Начиная с этой точки, гибкая нить не влияет на движение шарика, и он движется свободно в поле тяжести по параболе, пока нить снова не вытянется на всю длину.
Рис.1.3. К нахождению точки, в которой натяжение нити T обращается в нуль
Угловое положение точки в которой сила натяжения нити обращается в нуль, легко найти с помощью закона сохранения энергии и проекции уравнения второго закона Ньютона на направление нити, полагая в нем силу натяжения нити T равной нулю. Из рис. 1.3 видно, что эти уравнения записываются следующим образом:
mv^2
2
=
mgl
(1-cos )