Физика в примерах и задачах
Шрифт:
Вдумавшись в приведённые рассуждения, легко сообразить, что свободный электрон не может не только излучать, но и поглощать свет. Чтобы в этом убедиться, достаточно просто прочитать приведённые формулы в обратном порядке: соотношение (2) даёт энергию системы электрон плюс фотон до поглощения в системе отсчёта, где суммарный импульс электрона и фотона равен нулю, а соотношение (1) - энергию после поглощения фотона.
Разумеется, приведённые рассуждения справедливы только для элементарных частиц и неприменимы к сложным объектам, состоящим из нескольких элементарных частиц, например к атомам и молекулам. Свободно движущиеся атомы или молекулы могут излучать и поглощать!
Испускать или поглощать фотоны
Итак, мы убедились, что фотон не может просто поглощаться свободным электроном. Но вот исчезнуть при взаимодействии со свободным электроном, породив при этом электрон-позитронную пару, он может. Для этого фотон должен, конечно, обладать достаточной энергией. Какой же именно?
Прежде всего отметим, что превращение фотона (гамма-кванта) в электрон-позитронную пару возможно только в присутствии какой-либо частицы. Без такой частицы этот процесс вообще невозможен в силу закона сохранения импульса. Действительно, предположим, что это произошло, т.е. образовалась электрон-позитронная пара. Всегда существует такая система отсчёта, в которой центр масс электрона и позитрона неподвижен, т.е. полный импульс образовавшейся пары равен нулю. Тогда в этой системе отсчёта должен быть равен нулю и импульс фотона, породившего эту пару. Но это невозможно, так как не существует такой системы отсчёта, в которой фотон покоится. Поэтому фотон может превратиться в электрон-позитронную пару только в присутствии частицы, которая «принимает на себя» его импульс.
Легко сообразить, что необходимая для рождения пары энергия фотона будет тем меньше, чем больше масса M частицы, уносящей импульс фотона. В самом деле, чем массивнее эта частица, тем меньшую кинетическую энергию она при этом приобретает. При m/M<<1 этой кинетической энергией можно вообще пренебречь. Если образовавшиеся электрон и позитрон покоятся, то их энергия будет наименьшей из всех возможных и равной энергии покоя системы 2mc^2. Поэтому наименьшая энергия фотона, при которой вообще возможно образование пары, определяется из соотношения
h
=
2mc^2
.
(3)
Эта энергия носит название пороговой. Подставляя сюда значение массы покоя электрона m=0,91·10– 27 г и скорости света c=2,998·1010 см/с, находим, что пороговая энергия образования электрон-позитронной пары составляет 1,63x10– 6 эрг = 1,02·106 эВ. Длина волны гамма-кванта, обладающего такой энергией, =c/=hc/(2mc^2)=1,2·10– 10 см = 0,012 A. Такие фотоны встречаются в космическом излучении и возникают при торможении в веществе быстрых заряженных частиц, разогнанных на мощных ускорителях.
Теперь мы можем найти энергию, которой должен обладать фотон, для того чтобы могло произойти рождение электрон-позитронной пары вблизи покоящегося электрона. Будем рассуждать следующим образом. Перейдём в систему отсчёта, в которой покоится центр масс всех трёх частиц - исходного электрона и образовавшейся электрон-позитронной пары. Разумеется, сами частицы могут при этом двигаться. В этой системе отсчёта полная энергия будет наименьшей, если все три частицы покоятся. Именно такой случай и соответствует наименьшей энергии фотона, необходимой для рождения пары вблизи электрона. При этом мы пренебрегаем энергией кулоновского взаимодействия электронов и позитрона, которая, как и энергия связи электронов в атомах, по порядку величины составляет несколько электрон-вольт.
Возвращаясь теперь в лабораторную систему отсчёта, мы видим, что после рождения пары все три частицы должны двигаться с одинаковой скоростью. Поскольку масса у этих частиц одинакова, то будут одинаковыми и их импульсы. Вследствие закона сохранения импульса это означает, что полный импульс, которым обладали фотон и электрон до рождения пары, распределится поровну между тремя частицами. Если до рождения пары электрон в лабораторной системе отсчёта покоится, то после рождения пары импульс каждой частицы p равен одной трети импульса фотона h/c:
p
=
h
3c
.
(4)
Используя релятивистскую формулу, выражающую энергию частицы через её импульс, убеждаемся, что и энергия всех трёх частиц одинакова и равна
E
=
p^2c^2+m^2c
=
(h/3)^2+m^2c
.
(5)
Теперь остаётся только воспользоваться законом сохранения энергии. До рождения пары энергия в лабораторной системе отсчёта - это энергия фотона h и энергия покоя электрона mc^2. После рождения пары энергия равна утроенному значению энергии каждой частицы. Поэтому
h
+
mc^2
=
3
(h/3)^2+m^2c
.
(6)
Возведя обе части этого равенства в квадрат и приводя подобные члены, находим значение h пороговой энергии рождения пары вблизи покоящегося электрона:
h
=
4mc^2
.
(7)
Обратим внимание на то, что эта энергия вдвое превышает значение пороговой энергии фотона для рождения электрон-позитронной пары вблизи массивной частицы, например вблизи ядра тяжёлого элемента. Значит, только половина энергии фотона при рождении пары вблизи покоящегося электрона превращается в энергию покоя образовавшихся частиц. Другая половина неизбежно превращается в кинетическую энергию. Это связано с необходимостью обеспечить выполнение закона сохранения импульса.
4. Эффект Доплера.
Читатель наверняка замечал, как меняется высота звука гудка локомотива, когда поезд проносится мимо. Высокий тон гудка приближающегося поезда становится заметно более низким, как только источник звука промчится мимо и начинает удаляться. Такое изменение частоты воспринимаемого сигнала при движении источника звука (или приемника) носит название явления Доплера. Это явление имеет место и в оптике: движущийся атом излучает свет другой частоты по сравнению с неподвижным. Оказывается, что это типично волновое явление может быть правильно объяснено с точки зрения представления о свете как о совокупности световых квантов — фотонов. Опираясь на эти представления, покажите, что при медленном движении излучающего атома (скорость атома v много меньше скорости света c) относительное изменение частоты излучаемого им света / даётся соотношением
=
v
c
cos
,
где - угол между направлением движения атома и направлением испускаемого фотона.
Поскольку мы ничего не знаем о механизме излучения света атомами, нам остаётся только попробовать применить к акту испускания фотона движущимся атомом законы сохранения энергии и импульса. «Закреплённый» неподвижный атом испускает фотон с энергией h при переходе атома из одного стационарного состояния в другое. Разность энергий этих стационарных состояний не зависит от того, покоится атом или движется.