Физика в примерах и задачах
Шрифт:
Будем считать, что нуклон находится где-то внутри ядра, т.е. неопределённость его положения характеризуется размерами ядра. Тогда соотношение неопределённостей даёт следующую оценку для импульса нуклона:
p
h
r
,
(1)
где r - радиус ядра. Соответствующее такому импульсу значение скорости нуклона массы M=1,7·10– 24 г при радиусе ядра r10– 13 см составляет несколько десятых долей скорости света. Поэтому при оценках нуклон можно считать нерелятивистским. Таким образом, кинетическая энергия Eк нуклона массы M в ядре должна быть порядка
E
к
=
p^2
2M
=
h^2
2Mr^2
10
.
(2)
Поскольку нуклон в ядре находится в связанном состоянии, то абсолютное значение его потенциальной энергии должно быть больше 10 МэВ. Таким образом, глубина потенциальной ямы, в которой движется нуклон в ядре, во всяком случае не может быть меньше этого значения. Глубина этой потенциальной ямы даёт грубую оценку энергии связи на один нуклон.
Полученная оценка хорошо согласуется с экспериментальным значением удельной энергии связи, найденным из масс-спектрометрических измерений, которое для большинства ядер равно 8 МэВ/нуклон.
Энергия в 10 МэВ составляет всего 1% от энергии покоя нуклона Mc1 ГэВ. Поэтому действительно можно считать, что ядро состоит из отдельных нуклонов, энергия связи которых мала по сравнению с их энергией покоя.
Интересно отметить, что те же доводы, основанные на соотношениях неопределённостей, показывают, что в состав ядра не могут, наряду с протонами, входить электроны, как это предполагалось в одной из ранних моделей атомного ядра, существовавшей до открытия нейтрона. В самом деле, если электрон локализован в области размером порядка r10·10– 13 см, то, как можно убедиться с помощью соотношения (1), он будет ультрарелятивистским. Для оценки его энергии можно воспользоваться выражением Eк=pc, что даёт Eм0,2 ГэВ. Это огромное значение энергии электрона совершенно несовместимо с характерным значением энергии связи ядра в расчёте на одну частицу, равным примерно 8 МэВ, не говоря уже о том, что 0,2 ГэВ - это в 400 раз больше, чем энергия покоя электрона, составляющая всего 0,5 МэВ.
10. Принцип эквивалентности.
Шарик массы m подвешен внутри пустой цистерны на невесомой нити длиной l (рис. 10.1). В начальный момент t=0 цистерна начинает двигаться в горизонтальном направлении с постоянным ускорением a. Какое движение будет при этом совершать шарик? Что изменится, если цистерну предварительно заполнить водой?
Рис. 10.1. Цистерна начинает двигаться с постоянным ускорением a
Эта задача очень напоминает первую задачу этого раздела, в которой точка подвеса маятника начинала двигаться с постоянной скоростью и требовалось определить дальнейшее движение маятника. Как мы видели, благодаря принципу относительности решение задачи значительно облегчалось при переходе в систему отсчёта, связанную с точкой подвеса. Здесь принцип относительности нам не поможет, поскольку такая система отсчёта из-за ускоренного движения точки подвеса не является инерциальной. И тем не менее и в данной задаче переход в новую систему отсчёта, где точка подвеса неподвижна, облегчает решение. При этом нужно воспользоваться одним из самых фундаментальных законов природы, так называемым принципом эквивалентности, который лежит в основе релятивистской теории тяготения.
Чтобы сформулировать принцип эквивалентности, рассмотрим следующий мысленный эксперимент. Пусть закрытая лаборатория, например кабина лифта, движется с постоянным ускорением a относительно какой-либо инерциальной системы отсчёта в области пространства, где отсутствует поле тяготения. Тогда все свободные тела в лифте, которые относительно инерциальной системы не имеют ускорения, будут относительно лифта иметь одинаковое ускорение -a. Находящийся в закрытом лифте наблюдатель, который не имеет возможности «выглянуть наружу», по поведению этих тел не сможет решить, движется ли лифт с ускорением a или он покоится в однородном поле
Такая эквивалентность поля тяжести и ускоренного движения системы отсчёта справедлива для любых механических явлений: все механические явления в движущемся с ускорением лифте происходят точно так же, как и в неподвижном лифте, но находящемся в поле тяжести. Сформулировав этот принцип, Эйнштейн распространил его, так же как и принцип относительности, не только на механические явления, но и на все физические явления вообще.
Рис. 10.2. В системе отсчёта, связанной с цистерной, действует эффективное поле тяжести g
Применение принципа эквивалентности позволяет упростить рассмотрение многих физических явлений, а нашу задачу вообще превращает в тривиальную. Вместо того чтобы рассматривать ускоренно движущуюся цистерну, будем считать, что она неподвижна, но на все тела в ней действует дополнительное гравитационное поле g=-a (рис. 10.2). Это поле, складываясь с истинным полем тяжести Земли, даёт эффективное поле тяжести, напряжённость которого g=g+g=g-a. Вектор g отклонён от истинной вертикали на угол , тангенс которого определяется соотношением
tg
=
a
g
.
(1)
Напряжённость эффективного поля тяжести находится по теореме Пифагора:
g
=
g^2+a^2
.
(2)
Рис. 10.3. Маятник совершает колебания с амплитудой около направления, задаваемого вектором g
Ясно, что в положении равновесия нить маятника направлена вдоль вектора g. В начальный момент, когда цистерна начинает двигаться с ускорением a, шарик неподвижен, а нить вертикальна, т.е. маятник отклонён от нового положения равновесия на угол влево (рис. 10.3). Поэтому маятник в пустой цистерне будет совершать относительно нового положения равновесия колебания с угловой амплитудой . Если ускорение цистерны a мало по сравнению с ускорением свободного падения g, то амплитуда колебаний мала и колебания будут гармоническими. Угол отклонения от нового, положения равновесия (t) будет при этом изменяться со временем по закону
(t)
=-
cos t
,
(3)
где частота при малой амплитуде определяется соотношением
=
g
l
=
g^2+a^2
l
1
+
^2
2
.
(4)
При наличии трения эти колебания постепенно затухнут, и маятник остановится в новом положении равновесия.
Рис. 10.4. В заполненной водой цистерне лёгкий шарик занимает перевёрнутое положение
Используя принцип эквивалентности, легко ответить и на вопрос о том, как будет вести себя маятник в цистерне, заполненной водой. Из-за большой вязкости колебания прекратятся практически сразу, и маятник остановится в положении равновесия. Если плотность шарика больше, чем плотность воды, то положение равновесия маятника будет таким же, как и в пустой цистерне. Если же плотность шарика меньше, чем плотность воды, то угол отклонения нити в положении равновесия отличается на . При заполнении цистерны водой шарик всплывёт под действием архимедовой силы, направленной противоположно силе тяжести. При движении цистерны с ускорением a архимедова сила направлена противоположно вектору g (рис. 10.4).