Физика в примерах и задачах
Шрифт:
=
mc^2
h
c+v
c-v
1/2
=
c+v
c-v
1/2
.
(11)
Здесь использовано выражение (8) для частоты фотона, излучаемого при аннигиляции неподвижной пары. Аналогично, вычитая из уравнения (9) уравнение (10), находим :
=
c-v
c+v
1/2
.
(12)
Полученные
Легко видеть, что при v/c<<1 формулы (11) и (12) дают обычное выражение для нерелятивистского эффекта Доплера. Для этого домножим числитель и знаменатель подкоренного выражения в формуле (11) на c+v. Пренебрегая затем в знаменателе величиной v^2 по сравнению с c^2, получаем
=
(c+v)^2
c^2-v^2
1/2
1
+
v
c
,
(13)
что совпадает с формулой (6) при =0. Аналогично, формула (12) при v/c<<1 даёт выражение, совпадающее с формулой (6), если в последней положить =.
Во всех рассуждениях мы под частотой молчаливо подразумевали частоту излучения, регистрируемого неподвижным в данной системе отсчёта приёмником. Изменение частоты происходило только за счёт движения источника. На самом деле в случае электромагнитного излучения, распространяющегося в вакууме, все полученные формулы остаются справедливыми и при движении приёмника излучения, только в этом случае под v следует понимать относительную скорость - скорость источника относительно приёмника.
5. Фотонный парус.
На неподвижное идеальное плоское зеркало массы m нормально к его поверхности падает плоская световая волна. Под действием силы светового давления зеркало приходит в движение. Определить конечную скорость зеркала и энергию отражённой от него волны, если энергия падающей волны равна W.
На протяжении всей книги мы много раз убеждались, что очень многие задачи можно решить, не вникая в детали происходящих физических явлений. Для ответа на многие вопросы достаточно только представить общую картину рассматриваемых явлений и правильно применить подходящие фундаментальные законы сохранения. Так и в этой задаче. Точное динамическое решение здесь сопряжено с большими трудностями. В самом деле, энергия отражённой от зеркала волны зависит от того, как движется зеркало, а закон движения зеркала определяется его взаимодействием со световой волной. Однако совершенно ясно, что, независимо от механизма взаимодействия электромагнитной волны с зеркалом, должны выполняться законы сохранения энергии и импульса, поскольку рассматриваемая система - зеркало и световая волна - является замкнутой. Использование этих законов даёт возможность без труда решить эту задачу даже с учётом релятивистских эффектов, когда становится существенной зависимость массы движущегося тела от его скорости.
Приступим к решению задачи. Энергия падающей на зеркало световой волны равна W, а энергию отражённой волны обозначим через W. Вначале зеркало покоится. Тогда закон сохранения энергии можно записать в виде
W
+
mc^2
=
W
+
mc^2
1-v^2/c^2
.
(1)
Так как энергия электромагнитного поля W связана с его импульсом p соотношением
p
=
W
c
,
(2)
то закон сохранения импульса принимает вид
W
c
=-
W
c
+
mv
1-v^2/c^2
.
(3)
Знак минус в первом члене правой части формулы (3) соответствует тому, что отражённая от зеркала волна движется в обратном направлении. Для исключения энергии отражённой волны W умножим обе части равенства (3) на c и сложим почленно с (1). Тогда получим
2W
+
mc^2
=
mc^2
1-v^2/c^2
(1+v/c)
.
(4)
Простыми преобразованиями выражение (4) можно привести к виду
c+v
c-v
=
1
+
2W
mc^2
^2
.
(5)
Отсюда получим выражение для конечной скорости зеркала v:
v
=
c
1 +
2W
mc^2
– 1
1 +
2W
mc^2
+ 1
.
(6)
Теперь найдём энергию отражённой волны W. Для этого вычтем из выражения (1) равенство (3), умноженное на c:
mc^2
=
2W
+
mc^2
c-v
c+v
1/2
,
(7)
откуда с помощью (5) легко находим энергию отражённой волны W:
W
=
W
1+2W/mc^2
.
(8)
Интересно отметить, что энергия отражённой волны не может превышать половины энергии покоя зеркала, какой бы большой ни была энергия падающей волны. Действительно, пренебрегая единицей в знаменателе (8), мы только увеличим правую часть, поэтому
W
<
W
2W/mc^2
=
mc^2
2
.
Таким образом, чем больше энергия падающей волны, тем большая часть этой энергии передаётся зеркалу. При W>>mc^2 практически вся энергия волны передаётся зеркалу. Отражается только малая часть энергии, равная, как мы только что видели, mc^2/2. Подчеркнём ещё раз, что этот результат мы получили, совершенно не вникая в механизм взаимодействия электромагнитной волны с веществом, из которого сделано зеркало!
Интересно отметить другой предельный случай, когда энергия падающей волны много меньше энергии покоя зеркала: W< v c 2W mc^2 . (9)