Физика в примерах и задачах
Шрифт:
+
mv^2
2
,
(4)
mg
cos(-)
=
mv^2
l
.
(5)
Подставляя v^2 из уравнения (5) в (4), находим
cos
=
1
3
2
–
v^2
gl
.
(6)
Поскольку шарик поднимается выше точки подвеса только при v^2>2gl, то даваемое формулой (6) значение cos отрицательно. Из формулы (6) видно, что чем больше начальная скорость шарика v, тем ближе угол
Движение шарика в исходной лабораторной системе отсчёта, где его точка подвеса приведена в равномерное движение со скоростью v, получается в результате сложения описанного выше движения во вспомогательной системе отсчёта и равномерного движения со скоростью v.
Разобранный пример наглядно показывает следующее: несмотря на то, что законы движения во всех инерциальных системах отсчёта одинаковы, при решении конкретной задачи одна из этих систем может оказаться гораздо удобнее, чем остальные. Удачное применение принципа относительности может превратить сложную на первый взгляд задачу в почти очевидную.
2. Возбуждение атома при столкновении.
Наименьшая энергия возбуждения атома гелия равна 21,12 эВ. Возможно ли возбуждение неподвижного атома гелия при столкновении с протоном, обладающим энергией 24 эВ? с электроном такой же энергии?
Если энергия налетающей частицы недостаточна для возбуждения атома, то её столкновение с атомом является абсолютно упругим, так как внутреннее состояние атома измениться не может. При возбуждении или ионизации атома в результате удара налетающей частицы столкновение уже не является упругим, так как часть кинетической энергии превращается во внутреннюю энергию возбуждённого атома или затрачивается на совершение работы ионизации, т.е. на удаление электрона из атома. Вследствие закона сохранения импульса вся кинетическая энергия налетающей частицы не может пойти на возбуждение или ионизацию атома, хотя такой процесс и не противоречил бы закону сохранения энергии.
Какая же максимальная доля первоначальной кинетической энергии может быть использована для возбуждения атома? На этот вопрос легко ответить, если использовать законы сохранения энергии и импульса для процесса столкновения налетающей частицы с невозбуждённым атомом. Энергия возбуждения W представляет собой изменение внутренней энергии атома при переходе из основного состояния в возбуждённое. Энергия налетающей частицы - это её кинетическая энергия mv^2/2, где v - скорость частицы до столкновения.
Не первый взгляд могло бы показаться, что для возбуждения атома наиболее благоприятен случай, когда в результате удара налетающая частица останавливается, передавая атому всю свою энергию. Однако на самом деле оказывается, что в этом случае кинетическая энергия системы после удара не будет наименьшей. Во внутреннюю энергию атома переходит наибольшая часть кинетической энергии частицы, если после столкновения атом и налетевшая частица движутся с одинаковой скоростью, несмотря на то, что какую-то долю своей кинетической энергии налетающая частица при этом сохраняет.
Проще всего в этом убедиться, рассматривая процесс возбуждения атома в системе отсчёта, в которой неподвижен центр масс атома и налетающей частицы. Такая система отсчёта также является инерциальной. Согласно принципу относительности законы, описывающие любые физические явления, одинаковы во всех инерциальных системах отсчёта. Поэтому во введённой системе, как и в исходной, также выполняются законы сохранения энергии и импульса. Полный импульс в этой системе отсчёта равен нулю, поэтому после столкновения могут остановиться оба тела - и атом, и частица. Если оба тела действительно остановятся, то во внутреннюю энергию атома перейдёт вся первоначальная кинетическая энергия. Но неподвижные в системе центра масс атом и частица имеют одинаковую скорость в исходной лабораторной системе отсчёта. Значит, приращение внутренней энергии атома будет наибольшим в том случае, когда после столкновения и атом, и налетевшая частица имеют одинаковую скорость. Именно такое столкновение и называется абсолютно неупругим ударом, хотя частицы после столкновения не объединяются в одно тело, а движутся независимо.
Запишем законы сохранения энергии и импульса, рассматривая этот наиболее благоприятный для возбуждения атома случай. Обозначим массу атома через M, а скорость атома и частицы после удара через V. Тогда
mv
=
(M+m)V
,
(1)
mv^2
2
=
(M+m)V^2
2
+
W
.
(2)
Мы используем здесь нерелятивистские формулы, так как при интересующих нас энергиях порядка 20 эВ и электрон, и тем более протон движутся со скоростью, много меньшей скорости света.
При заданной энергии возбуждения W уравнения (1) и (2) определяют наименьшую скорость налетающей частицы v и, следовательно, наименьшую энергию mv^2/2, при которой возможно возбуждение атома. Выражая V из (1) и подставляя в (2), находим
mv^2
2
=
1
+
m
M
W
.
(3)
Из этого соотношения видно, что чем легче налетающая частица, тем меньше её энергия, достаточная для возбуждения атома. Например, при возбуждении атома налетающим электроном (m< Рассмотренный пример позволяет понять, почему при возникновении самостоятельного газового разряда определяющую роль в ионизации столкновениями играют именно электроны, а не тяжёлые ионы, хотя последние тоже ускоряются электрическим полем. 3. Взаимные превращения электронов и фотонов. Возможно ли излучение и поглощение света свободным электроном? Может ли свободный фотон, обладающий достаточной энергией, превратиться в электрон-позитронную пару? Может ли свободный электрон излучать свет? На первый взгляд кажется, что испускание фотона свободно движущимся электроном не противоречит законам сохранения энергии и импульса. Действительно, ничто, казалось бы, не мешает электрону, движущемуся с некоторой скоростью v, уменьшить свою скорость, передав испускаемому фотону часть своего импульса и кинетической энергии. Однако, записав законы сохранения энергии и импульса для этого процесса, мы увидим, что одновременно удовлетворить этим законам невозможно. Проще всего в этом убедиться, воспользовавшись эквивалентностью различных инерциальных систем отсчёта: во всех инерциальных системах отсчёта все физические законы одинаковы. Поэтому достаточно доказать невозможность излучения фотона свободным электроном в какой-нибудь одной инерциальной системе отсчёта. Рассмотрим систему отсчёта, в которой электрон неподвижен. Энергия электрона в этой системе до излучения фотона E = mc^2 . (1) После излучения фотона вследствие закона сохранения импульса электрон приобретает некоторую скорость v, и энергия системы электрон плюс фотон даётся выражением E = mc^2 1-v^2/c^2 + h . (2) где h - энергия испущенного фотона. Сравнивая формулы (1) и (2), видим, что удовлетворить закону сохранения энергии невозможно, ибо E всегда больше E.