Физика в примерах и задачах
Шрифт:
D
=
L·
=
d
l
L
.
и при L=50 см не превосходит 2·10– 3 см.
Практически добиваться получения пятна столь малого размера нет необходимости. Поэтому размер отверстия в диафрагме можно делать больше. При этом квантовые эффекты в движении электронов проявляться не будут, и их траектории можно рассчитывать по законам классической механики.
Как ясно из приведённого решения этой задачи, наглядное представление о границах применимости классического описания движения частиц можно получить, оценивая соответствующую нм длину волны де-Бройля. В рассмотренном примере согласно формуле (7) эта длина волны =10– 9
8. Атом водорода и соотношения неопределённостей.
Применение соотношений неопределённостей к движению электрона в атоме показывает, что классическое описание здесь непригодно и необходимо использовать квантовые законы. Соотношения неопределённостей представляют собой фундаментальное положение квантовой теории, которое не только устанавливает границы применимости классических представлений, но и позволяет исследовать свойства квантовых систем. Рассмотрите атом водорода, пользуясь этими соотношениями. Оцените размер атома и энергию связи электрона в основном состоянии (т.е. энергию ионизации).
Для ответа на поставленные вопросы действительно достаточно использовать соотношение неопределённостей Гейзенберга, связывающее неопределённости значений координаты электрона и соответствующей проекции его импульса:
x
·
p
x
h
.
(1)
При этом можно обойтись без детальной теории, основываясь лишь на планетарной модели атома Резерфорда. Согласно этой модели электрон движется по орбите вокруг ядра, и его импульс направлен по касательной к траектории. Поэтому за меру неопределённости положения электрона естественно взять длину орбиты 2r а за меру неопределённости импульса - сам импульс электрона p. Это значит, что для электрона в атоме соотношение (1) можно записать в виде
2r
·
p
h
,
или, вводя вместо h величину h=h/2 так:
r
·
p
h
.
(2)
Основное состояние атома - это состояние с наименьшей возможной энергией. В ядер ной модели энергия атома E включает кинетическую энергию электрона p^2/2m и потенциальную энергию взаимодействия электрона с ядром -e^2/r:
E
=
p^2
2m
–
e^2
r
.
(3)
В классической теории импульс электрона при заданном радиусе орбиты r определяется с помощью второго закона Ньютона:
mv^2
r
=
e^2
r^2
.
(4)
Выражая отсюда значение p=mr и подставляя его в (3), получаем
E
=-
e^2
2r
.
(5)
Как видно из этой формулы, энергия атома равна нулю, когда электрон находится на орбите бесконечно большого радиуса, и стремится к бесконечно большому отрицательному значению, когда электрон приближается к ядру. Таким образом, энергия связи электрона равна нулю в первом случае и бесконечно велика во втором. Это значит, что классическая механика вообще
Но в микромире второй закон Ньютона несправедлив. Как видно из соотношения неопределённостей (2), при уменьшении радиуса атома r импульс электрона p растёт как 1/r, т.е. не так, как ему предписывает второй закон Ньютона (4), а быстрее. В результате при уменьшении r кинетическая энергия растёт быстрее, чем убывает потенциальная, так что при r->0 полная энергия атома, даваемая формулой (3), неограниченно возрастает. Отсюда сразу ясно, что электрон не может упасть на ядро и атом должен иметь конечный размер. Чтобы оценить размер и энергию атома в основном состоянии, можно найти минимум выражения (3), выразив в нем p (или r) с помощью соотношения (2):
E
p^2
2m
–
e^2p
h
.
(6)
Приравнивая нулю производную правой части по p, находим то значение импульса p, при котором полная энергия минимальна:
p
=
me^2
h
.
(7)
Как видно из соотношения (2), соответствующее такому импульсу значение радиуса
r
=
h^2
me^2
=
0,53·10
– 8
см.
(8)
Подставляя эти значения r и p в формулу (3) (или значение p в формулу (6)), находим энергию атома в основном состоянии
E
=-
me
2h^2
=-
13,53 эВ.
(9)
Таким образом, для того чтобы ионизировать атом водорода, необходима энергия 13,53 эВ.
По смыслу решения можно было ожидать получения лишь правильного порядка величин. Однако найденные выражения для радиуса атома r и энергии E совпадают со значениями, которые даёт модель атома водорода по Бору, в основе которой лежит идея квантования момента импульса электрона. Как мы видим, размер атома и энергию связи электрона можно определить, не прибегая к правилам квантования, а используя только соотношение неопределённостей. Совпадению полученных выше приближённых оценок с точными значениями соответствующих величин не следует придавать слишком большого значения. Важно лишь, что соотношение неопределённостей позволяет найти правильный порядок этих величин. При этом основное состояние атома определяется компромиссом, при котором полная энергия имеет наименьшее возможное значение, допускаемое соотношениями неопределённостей.
Отметим, что рассмотренный в этой задаче подход, основанный на соотношениях неопределённостей, даёт внутренне непротиворечивую картину структуры атома. В отличие от теории Бора, этот подход, в частности, даёт возможность понять, почему атом водорода в основном состоянии обладает сферической симметрией.
9. Атомное ядро и соотношения неопределённостей.
Из опытов Резерфорда по рассеянию -частиц известно, что атомное ядро имеет диаметр порядка 10– 12– 10– 13 см. Считая, что ядро состоит из нуклонов (т.е. протонов и нейтронов), оценить с помощью соотношения неопределённостей энергию связи нуклона в ядре, т.е. удельную энергию связи.
Эта задача во многом похожа на предыдущую. Однако при использовании соотношения неопределённостей здесь появятся отличия, связанные с тем, что нам неизвестен характер сил, удерживающих нуклоны в ядре. Другими словами, неизвестна зависимость потенциальной энергии нуклона от его положения внутри ядра. Поэтому если для атома можно было определить и его размер, и энергию связи электрона, то для ядра использование соотношения неопределённостей позволит только связать между собой аналогичные величины.