Физика в примерах и задачах
Шрифт:
m(v+v)^2
2
=
mv^2
2
+
mgR
2
.
(5)
Потребуем, чтобы v. была равна второй космической скорости vII=2gR. Тогда для необходимого приращения скорости v из уравнения (5) после подстановки в него v=gR, решая квадратное уравнение, получаем
v
=
gR
·
(1±
3
)
.
(6)
Взяв корень со знаком плюс, получаем значение v=(1-3)gR= 5,8
Естественно задуматься над вопросом, за счёт чего получается такой «выигрыш» в энергии при использовании туннеля. При сгорании топлива в двигателях ракеты определённая часть его внутренней энергии превращается в кинетическую энергию ракеты и выброшенных газов. Если до срабатывания двигателей ракета была неподвижна на поверхности Земли, то в силу закона сохранения импульса некоторая (и немалая!) доля высвобождающейся энергии обязательно перейдёт в кинетическую энергию газов. Если же двигатели срабатывают в тот момент, когда ракета уже имеет некоторую скорость, то передаваемая газам доля кинетической энергии может быть меньше. Например, если при движении в туннеле скорость истечения газов из сопла двигателя ракеты будет равна скорости ракеты относительно Земли, то скорость выброшенных газов относительно Земли будет равна нулю. Другими словами, в системе отсчёта, связанной с Землёй, выброшенные газы вообще не будут обладать кинетической энергией, и вся высвобождающаяся механическая энергия целиком «достаётся» ракете. Ракете же достанется и кинетическая энергия топлива, которой оно обладало до срабатывания двигателей.
Интересно отметить, что свободное падение ракеты в туннеле представляет собой гармоническое колебание около центра Земли, при котором ракета пролетает через земной шар по диаметру от одного края туннеля до другого. Так происходит потому, что действующая в туннеле сила тяжести направлена к центру Земли и пропорциональна расстоянию до него. С помощью формулы (1) легко найти период таких колебаний. Поскольку частота =g/R, то период T=2/=2/g/R, что совпадает с периодом обращения спутника по низкой круговой орбите.
Разумеется, осуществление описанного здесь фантастического космического проекта лежит за пределами технических возможностей. Ни прорыть такой туннель через центр Земли, ни откачать из него воздух, что совершенно необходимо для того, чтобы свободное падение ракеты в нем происходило без сопротивления, конечно, невозможно. Но сама идея использовать поле тяготения для экономии топлива космических кораблей, несомненно, представляет интерес. Например, в космическом путешествии за пределы Солнечной системы можно использовать поле тяготения одной из тяжёлых планет для предварительного разгона и включать двигатели корабля для сообщения необходимого импульса вблизи этой планеты.
18. Изменение орбиты.
В результате трения в верхних слоях атмосферы механическая энергия спутника Земли за много витков уменьшилась на 2%. Орбита спутника при этом как была, так и осталась круговой. Как изменились параметры орбиты: радиус r, скорость v, период обращения T?
В системе отсчёта, связанной с Землёй, механическая энергия спутника E есть сумма его кинетической энергии и потенциальной энергии взаимодействия с Землёй (R - радиус Земли):
E
=
mv^2
2
–
mgR^2
r
.
(1)
Так
v^2
=
gR^2
r
.
(2)
С помощью (2) выражение для энергии спутника (1) можно представить в виде
E(r)
=-
mgR^2
r
+
mgR^2
2r
=-
mgR^2
2r
.
(3)
Рис. 18.1. Зависимость кинетической, потенциальной и полной энергий спутника Земли от радиуса орбиты
Проиллюстрируем соотношение (3) графически. На рис. 18.1 показана зависимость потенциальной, кинетической и полной энергий спутника от радиуса r круговой орбиты. Из рисунка видно, что увеличение механической энергии спутника приводит к увеличению радиуса орбиты. Поскольку при нашем выборе начала отсчёта потенциальной энергии полная энергия спутника всегда отрицательна, относительное изменение энергии E/E положительно при её уменьшении (E<0). Так как по условию полная энергия уменьшилась на 2 %, то E/E положительно и равно 0,02. Соотношение (3) позволяет связать изменение энергии спутника с изменением радиуса орбиты r:
E(r+
r)
=-
1
2
mgR^2
r+r
=
E(r)
+
E
.
(4)
Правую часть этого выражения при r/r<<1 приближённо можно записать так:
–
1
2
mgR^2
r(1+r/r)
–
1
2
mgR^2
r
1-
r
r
=
E(r)
1-
r
r
.
(5)
Сравнивая (4) и (5), получаем
E
+
E
=
E
1-
r
r
т.е.
r
r
=-
E
E
=
– 0,02
.
Радиус орбиты также уменьшился на 2%.
Изменение скорости спутника при изменении орбиты легко выразить через изменение радиуса орбиты с помощью соотношения (2):
(v+
v)^2
=
gR^2
r+r
.
(6)
Поскольку v/v<<1 левую часть этого соотношения приближённо можно записать в виде
v^2
1
+
v
v
^2
v^2
1
+
2
v
v
.
Преобразовав правую часть формулы (6) так же, как и при переходе от (4) к (5), получим
1