Физика в примерах и задачах

Кондратьев Александр Сергеевич

Разобранный пример наглядно показывает, с какой осторожностью нужно подходить к вопросу о том, что существенно в рассматриваемом явлении, а чем можно пренебречь. Использовать можно любую систему отсчёта, и при точном решении задачи выбор системы отсчёта безразличен. Однако при нахождении приближённого решения пренебрежения, допустимые в одной системе отсчёта, могут оказаться совершенно непригодными в другой. Так, в рассмотренном примере можно было пренебрегать изменением кинетической энергии Земли и считать, что изменение энергии автомобиля равно энергии пружины при использовании системы отсчёта, связанной с Землёй. Если пользоваться другой системой отсчёта, то и при приближённом решении пренебрегать изменением кинетической энергии Земли нельзя,

несмотря на то, что изменение скорости Земли, как легко убедиться, одинаково и в той, и в другой системе отсчёта.

Обсудим теперь, что изменится в рассуждениях, если учитывать вызываемое игрушкой вращение Земли. В правой части формулы (2) кроме кинетической энергии поступательного движения Земли будет присутствовать ещё и кинетическая энергия вращения Земли. Она будет такого же порядка величины, что и кинетическая энергия поступательного движения Земли. Поэтому в системе отсчёта, где Земля была неподвижной, ею, как и энергией поступательного движения Земли, можно пренебречь и считать, что вся потенциальная энергия пружины превращается в кинетическую энергию игрушки.

Во второй системе отсчёта (где скорости игрушки и Земли сначала равны v) кинетическая энергия вращения Земли будет такой же, как и в первой системе отсчёта, поскольку приобретённая Землёй угловая скорость одинакова во всех инерциальных системах отсчёта. Поэтому, в отличие от кинетической энергии поступательного движения Земли, энергией вращения можно пренебречь и во второй системе отсчёта.

17. Фантастический космический проект.

Хорошо известно, что для совершения межпланетного путешествия находящемуся на поверхности Земли космическому кораблю необходимо сообщить начальную скорость 11,2 км/с (вторая космическая скорость). Однако в случае запуска космического корабля не с поверхности Земли, а через туннель, прорытый насквозь через центр Земли, получается потрясающий результат. Оказывается, что космическому кораблю, свободно падающему в таком туннеле, достаточно сообщить в тот момент, когда он проходит через центр Земли, дополнительную скорость всего лишь в 5,8 км/с, что составляет лишь 52 % от второй космической скорости. Тогда при выходе из туннеля он будет иметь скорость как раз 11,2 км/с и сможет совершить космическое путешествие. Это значит, что для запуска одного и того же корабля потребуется меньшая ракета и расход топлива будет менее значительным. Объяснить, почему возможен такой выигрыш.

Прежде всего выясним, какую скорость приобретёт ракета при свободном падении сквозь туннель до центра Земли. Это можно сделать с помощью закона сохранения энергии, только сначала нужно выяснить, как различаются между собой значения потенциальной энергии на поверхности Земли и в её центре.

Будем считать, что Земля представляет собой сплошной однородный шар. Выясним, как действующая на тело сила тяжести зависит от его положения в туннеле. Очевидно, что в центре Земли эта сила равна нулю. Это непосредственно следует из симметрии картины. Найти силу тяжести в произвольной точке можно точно таким же способом, каким определяется напряжённость электростатического поля внутри равномерно заряженного шара.

Рис. 17.1. Сила тяжести в точке A равна силе притяжения к заштрихованной части земного шара

Разобьём мысленно земной шар на тонкие сферические концентрические слои (рис. 17.1). По принципу суперпозиции полная сила, действующая на тело в туннеле, равна векторной сумме сил, действующих на него со стороны отдельных слоёв. Легко убедиться в том, что сила тяготения, действующая со стороны любого слоя на тело, находящееся внутри этого слоя, равна нулю. Это сразу видно из построения, показанного на рис. 17.2. Части оболочки с массами m и m притягивают тело массы m с силами, пропорциональными этим массам и обратно пропорциональными квадратам расстояний r

и r. Но сами массы m и m, как видно из рисунка, пропорциональны квадратам соответствующих расстояний. В результате силы тяготения, действующие со стороны выделенных участков сферического слоя, уравновешиваются, что и доказывает сделанное утверждение. Именно таким рассуждением отсутствие силы тяготения внутри сферической оболочки было установлено ещё Ньютоном.

Рис. 17.2. Силы тяготения, действующие на массу m со стороны участков m и m, уравновешиваются

Таким образом, на тело в туннеле в точке A (рис. 17.1) действует сила тяжести только со стороны заштрихованного шара, на поверхности которого находится это тело. Так как масса заштрихованного шара пропорциональна кубу его радиуса r, а сила тяготения пропорциональна массе (т.е. r^3) и в то же время обратно пропорциональна квадрату радиуса, то эта сила пропорциональна радиусу шара: Fr. Так как на поверхности Земли при r-R сила тяжести равна mg, то на произвольном расстоянии r от центра при r<=R имеем

F(r)

=

mgr

R

.

(1)

При r>R сила тяжести убывает обратно пропорционально квадрату расстояния; график зависимости силы тяжести от r показан на рис. 17.3.

Рис. 17.3. Зависимость силы тяжести и потенциальной энергии от расстояния до центра Земли

Теперь легко найти выражение для потенциальной энергии тела, находящегося в туннеле. Для этого мысленно поднимем тело из центра Земли на расстояние r, перемещая его равномерно. Очевидно, что для этого внешняя сила в каждой точке должна быть равна силе тяжести F(r) и противоположно направлена. Работа этой силы, равная площади заштрихованного треугольника mgr^2/2R, определяет изменение потенциальной энергии E_п:

E

_п

=

mgr^2

2R

.

(2)

Обычно потенциальную энергию принимают равной нулю, когда тело находится на бесконечно большом расстоянии от Земли (как, например, в формуле (3) из введения к этому разделу). В этой задаче удобно принять потенциальную энергию равной нулю, когда тело находится в центре Земли. Тогда с помощью формулы (2) найдём, что при r<=R

E

_п

(r)

=

mgr^2

2R

.

(3)

На поверхности Земли потенциальная энергия при этом будет равна mgR/2, а на бесконечно большом расстоянии от Земли 3mgR/2. График зависимости потенциальной энергии от г также показан на рис. 17.3.

Формула (3) позволяет найти скорость ракеты v в центре Земли при свободном падении с поверхности. Приравнивая потенциальную энергию на поверхности mgR/2 кинетической энергии ракеты в центре Земли mv^2/2, получаем

v

=

gR

.

(4)

Видно, что эта скорость равна первой космической скорости для спутника, движущегося вблизи поверхности Земли (v_I= 7,9 км/с).

Теперь предположим, что в тот момент, когда ракета пролетает через центр Земли, срабатывают двигатели, которые изменяют её скорость на v. Тогда, подлетев к поверхности Земли, на выходе из туннеля ракета будет обладать скоростью v, которая находится с помощью закона сохранения энергии: