Физика в примерах и задачах
Шрифт:
5. Бусинка на вращающемся стержне.
На гладкий стержень, расположенный под углом к вертикали, насажена бусинка (рис. 5.1). Стержень вращается с угловой скоростью вокруг вертикальной оси. Описать движение бусинки по стержню. Трением пренебречь.
Рис. 5.1. Силы, действующие на неподвижную относительно стержня бусинку
Может ли бусинка покоиться относительно стержня? Предположим, что может. Это значит, что существует такая точка стержня (на расстоянии r от оси вращения - см. рис. 5.1), находясь в которой бусинка относительно стержня покоится, т.е. действующие на неё сила тяжести mg и сила реакции стержня N сообщают
mg
ctg
=
ma
,
(1)
откуда следует (так как a=^2r), что r=(g/^2)ctg . Помещённая в эту точку бусинка покоится относительно стержня. Таким образом, положение равновесия бусинки на вращающемся стержне существует.
Рис. 5.2. Чтобы удержать бусинку в смещённом вверх положении, нужна сила F, действующая вниз вдоль стержня
Будет ли равновесие устойчивым? Другими словами, как будет вести себя бусинка, если по какой-либо причине она немного сместится из этого положения? Для выяснения этого вопроса поступим следующим образом: сместим бусинку немного вверх по стержню и выясним, при каком условии бусинка будет в равновесии и в этой новой точке. Только двумя силами mg и N здесь не обойтись, поскольку при наличии только этих двух сил положение равновесия определяется однозначно формулой (1). Нужна третья сила. Такой силой могла бы быть сила трения бусинки о стержень. Выясним, в какую сторону она должна быть направлена (рис. 5.2). Модуль и направление силы тяжести не изменились, направление нормальной силы реакции стержня N также не изменилось. Поскольку ma'>ma, необходимо, чтобы сила трения была направлена вниз по стержню. Но по условию задачи этой силы нет, поэтому бусинка будет скользить вверх по стержню. Аналогичными рассуждениями можно показать, что при небольшом смещении бусинки вниз она будет скользить вниз, т.е. удаляться от положения равновесия. Таким образом, положение равновесия бусинки на вращающемся стержне будет неустойчивым.
Каким будет поведение бусинки при наличии трения? Поскольку сила трения покоя может изменяться от нуля до некоторого максимального значения, из предыдущих рассуждений ясно, что должен существовать целый участок на стержне, в любой точке которого бусинка будет покоиться относительно стержня. Предлагаем вам самостоятельно найти положение границ этого участка при известном коэффициенте трения. Если у вас возникнут затруднения, рекомендуем ознакомиться с задачей 7 «Брусок на наклонной плоскости».
6. Монета на горизонтальной подставке.
Подставка с лежащей на ней монетой движется поступательно в горизонтальной плоскости по окружности радиусом r с угловой скоростью . Коэффициент трения монеты о подставку равен . Каким будет установившееся движение монеты?
Из соображений симметрии ясно, что установившееся движение монеты происходит по окружности с той же угловой скоростью . Действительно, в горизонтальной плоскости отсутствуют какие-либо физически выделенные направления. Поэтому, какими бы ни были начальные условия, при установившемся движении траектория монеты будет представлять собой окружность в инерциальной лабораторной системе отсчёта. От начальных условий зависит только положение центра этой окружности. Любая другая мыслимая траектория таким свойством - отсутствием выделенных направлений - не обладает. Соображения симметрии позволяют сделать вывод, что и относительно подставки монета, если она проскальзывает, тоже движется по окружности. Теперь, когда мы представляем себе характер движения монеты в целом, остаётся только установить количественные соотношения между его характеристиками, в частности выразить радиусы окружностей, вычерчиваемых монетой в той и другой системах отсчёта, через приведённые в условии данные.
В горизонтальной плоскости на монету действует только сила трения со стороны подставки. Рассмотрим сначала случай, когда монета движется вместе с подставкой. Так как при поступательном движении подставки все её точки движутся
При значениях этого безразмерного параметра ^2r/g>1 (т.е. при большей угловой скорости , или большем радиусе r, или меньшем коэффициенте трения ) монета будет проскальзывать относительно подставки. В этом случае центростремительное ускорение монете сообщает сила трения скольжения, направленная в сторону, противоположную вектору v скорости монеты относительно подставки. При движении по окружности сила перпендикулярна скорости V монеты в инерциальной системе отсчёта. Поэтому векторы V и v взаимно перпендикулярны. Скорость V монеты в лабораторной системе отсчёта представляет собой векторную сумму скорости монеты v относительно подставки и скорости u той точки подставки, в которой в данный момент находится монета (хотя, разумеется, скорости всех точек подставки одинаковы при её поступательном движении):
V
=
v
+
u
.
(1)
Соотношение (1) графически проиллюстрировано на рис. 6.1, где учтена указанная ортогональность векторов V и v. Из этого рисунка видно, что при проскальзывании монеты её скорость V в лабораторной системе всегда меньше скорости подставки u=r. По условию вектор u поворачивается с угловой скоростью , поэтому и весь треугольник скоростей на рис. 6.1 вращается как целое, так что взаимное расположение всех векторов остаётся неизменным. Это означает, что угол между векторами u и v фактически характеризует отставание по фазе вектора V скорости монеты от вектора u скорости подставки.
Рис. 6.1. Взаимное расположение векторов скоростей V монеты и u подставки
Для определения радиуса R круговой траектории монеты в лабораторной системе отсчёта воспользуемся вторым законом Ньютона, т.е. приравняем силу трения скольжения mg произведению массы m монеты на ускорение ^2R: g=R. Отсюда
R
=
g
^2
,
^2r
g
>=
1.
(2)
Интересно отметить, что при проскальзывании монеты радиус R траектории движения монеты не зависит от радиуса r окружностей, по которым движутся точки подставки. Однако радиус R, как видно из (2), не превосходит r и становится равным ему только при предельном значении параметра ^2r/g=1, когда проскальзывание прекращается.
Не представляет труда найти и радиус окружности, по которой монета движется относительно подставки. Все фигурирующие в формуле (1) скорости связаны с радиусами соответствующих окружностей соотношениями
V
=
R
,
v
=
,
u
=
r
.
(3)
Поскольку треугольник скоростей на рис. 6.1 прямоугольный, то с помощью теоремы Пифагора и соотношений (3) получаем
r^2
=
^2
+
R^2
,
откуда
=
r^2-R^2
.
(4)
Подставляя сюда найденное значение R из (2), находим
=
r
1-
g
^2r
^2
1/2
,
^2r
g
>=
1.
(5)
Видно, что радиус следа, который монета вычерчивает на подставке, также меньше радиуса r траектории движения подставки.