Голая статистика. Самая интересная книга о самой скучной науке
Шрифт:
Возможно, статистики не играют в футбол и не назначают свиданий девушкам из группы поддержки, но они могут предоставить ценное статистическое руководство футбольным тренерам {36} . Как указывалось ранее, вероятность выполнения удара после тачдауна равняется 0,94. Это означает, что математическое ожидание попытки заработать одно очко после тачдауна также составляет 0,94, поскольку оно равняется «доходу» (1 очко), умноженному на вероятность успеха (0,94). Никакая команда не может заработать 0,94 очка, но эта величина помогает оценить данный вариант действий после тачдауна в сравнении с альтернативным вариантом (двухочковой конверсией). Математическое ожидание в случает «погони за двумя очками» оказывается гораздо меньшим: 0,74. Да, «доход» выше (2 балла), но вероятность успеха существенно ниже (0,37). Очевидно, если играть осталось совсем немного и для победы команде требуются два очка, то ей не остается ничего другого, как попытать счастья с двухочковой конверсией. Но если цель команды – максимизация количества набранных очков, и она располагает для этого определенным запасом времени, то вариант с зарабатыванием одного очка для нее более приемлем.
36
David Leonhardt, In Football, 6 + 2 Often Equals 6, New York Times, January 16, 2000.
Такой же
25
Полное математическое ожидание для однодолларового билета мгновенной лотереи в штате Иллинойс (округленное до ближайшего цента) подсчитывается следующим образом: 1/15x($2) + 1/42,86x($4) + 1/75x($5) + 1/200x($10) + 1/300x($25) + 1/1589x($50) + 1/8000x($100) + 1/16 000x($200) + 1/48 000x($500) + 1/40 000x($1000) = $0,13 + $0,09 + $0,07 + $0,05 + $0,08 + $0,03 + $0,01 + $0,01 + $0,01 + $0,03 = $0,51. Однако существует также шанс 1/10 получить в качестве выигрыша бесплатный лотерейный билет; ожидаемый доход этого варианта составляет 0,51 доллара; таким образом, ожидаемый доход в целом равняется $0,51 + 0,1x($0,51) = $0,51 + $0,05 = $0,56.
26
Строго говоря, для правильного подсчета математического ожидания необходимо, чтобы сумма вероятностей всех возможных исходов равнялась 1. Здесь же сумма вероятностей представленных исходов составляет 0,2659. Однако, если принять, что с вероятностью 1–0,2659 = 0,7341 выпадает билет без всякого выигрыша (то есть выигрыш равен 0), тогда математическое ожидание подсчитано правильно. Прим. ред.
Несмотря на мой неожиданный выигрыш, я все равно считаю, что покупка билета мгновенной лотереи – абсолютная глупость. Это один из важнейших уроков теории вероятностей. Хорошие решения – если их оценивать вероятностями, которые за ними кроются, – в действительности могут оказаться не такими уж хорошими. А плохие решения – например, покупка билета мгновенной лотереи в Иллинойсе – не такими уж плохими, по крайней мере на коротком отрезке времени. Но в конечном счете вероятность все равно торжествует. Важная теорема, известная как закон больших чисел, гласит, что по мере возрастания количества испытаний средний результат исходов все сильнее приближается к его математическому ожиданию. Да, я выиграл 2 доллара, купив сегодня билет мгновенной лотереи. И мог бы еще раз выиграть 2 доллара завтра. Но если я куплю тысячи однодолларовых лотерейных билетов, каждый с ожидаемым доходом 0,56 доллара, то я почти наверняка останусь в проигрыше. К тому времени, когда я потрачу на покупку лотерейных билетов один миллион долларов, мой выигрыш составит сумму, очень близкую к 560 000 долларов.
Закон больших чисел объясняет, почему в долгосрочном периоде казино всегда выигрывают. Вероятности, связанные со всеми играми, которые практикуются в казино, благоприятствуют последнему (при условии, что казино способно помешать игрокам в блек-джек вычислять карты). Если в течение довольно продолжительного отрезка времени было сделано достаточное количество ставок, то казино обязательно получит больше, чем потеряет. Закон больших чисел также объясняет, почему вероятность того, что компания Joseph Schlitz Brewing Company добьется нужного ей результата, повышается при выполнении 100 слепых дегустаций, а не десяти. Взгляните на «функции плотности вероятности» для 10, 100 и 1000 слепых дегустаций пива. (Несмотря на свое мудреное название, функция плотности вероятности просто отображает упорядоченные исходы вдоль оси x и ожидаемую вероятность каждого исхода вдоль оси y; в сумме эти вероятности дают 1.) Как и ранее, я предполагаю, что каждая дегустация эквивалентна подбрасыванию монетки, а каждый дегустатор выбирает пиво Schlitz с вероятностью 0,5. Как видно из приведенных ниже графиков, по мере увеличения количества дегустаторов ожидаемый исход все больше сосредоточивается в области выбора пива Schlitz половиной (50 %) дегустаторов. В то же время вероятность получения исхода, который резко бы отклонялся от 50 %, по мере роста числа испытаний резко падает.
Ранее я говорил, что руководство компании Joseph Schlitz Brewing Company было бы радо, если бы в ходе сравнительной слепой дегустации не менее 40 % любителей пива Michelob выбрали пиво Schlitz. Приведенные ниже числа отражают вероятность достижения такого результата по мере увеличения количества дегустаторов:
10 дегустаторов: 0,83
100 дегустаторов: 0,98
1000 дегустаторов: 0,9999999999
1 000 000 дегустаторов: 1
Сейчас интуиция должна подсказать вам смысл, заложенный в подзаголовке этой главы: «Не покупайте расширенную гарантию для своего 99-долларового принтера». Ладно, возможно, пока этот смысл
Почему страховые компании готовы взять на себя такие риски? Потому что в долгосрочном периоде они заработают большие прибыли – если, конечно, правильно рассчитают величину своих страховых взносов. Разумеется, какие-то из автомобилей, застрахованных компанией Allstate Corporation, будут украдены. Другие придут в полную негодность, после того как их владельцы наедут, к примеру, на пожарный гидрант, как одна из моих старых приятельниц. (Кроме того, ей пришлось возместить полную стоимость устройства, что, между прочим, оказалось гораздо дороже, чем вы могли подумать.) Однако с большинством автомобилей, застрахованных Allstate Corporation или какой-либо другой компанией, серьезных неприятностей не случится. Чтобы получить прибыль, страховой компании нужно лишь позаботиться о том, чтобы сумма страховых взносов превышала возможные страховые выплаты. А для этого страховая компания должна иметь четкое представление о том, что в страховой отрасли принято называть «ожидаемыми потерями» на каждый страховой полис. Это в точности такая же концепция, что и математическое ожидание, но со «страховым уклоном». Если ваш автомобиль застрахован на 40 000 долларов, а вероятность того, что он будет украден в любом данном году, равняется 1 шансу из 1000, то годовые ожидаемые потери на ваш автомобиль составят 40 долларов. Величина годового страхового взноса для той части страхового покрытия, которая относится к угону автомобиля, должна быть больше 40 долларов. С этого момента страховая компания ничем, по сути, не отличается от казино или мгновенной лотереи в Иллинойсе. Да, иногда ей придется выплачивать определенные суммы по страховым претензиям, но в долгосрочной перспективе поступления обязательно превысят эти выплаты.
Как потребитель, вы должны отдавать себе отчет, что в длительном периоде страховка не сэкономит вам деньги. Единственное, что она может для вас сделать, это предотвратить некоторые неприемлемо высокие убытки, компенсировав, например, потерю угнанного автомобиля стоимостью 40 000 долларов или сгоревшего дома за 350 000 долларов. Покупка страхового полиса с точки зрения статистики – «неудачная ставка», поскольку вы заплатите страховой компании в среднем больше, чем от нее получите. Тем не менее это все же вполне разумный способ защиты от исходов, которые в противном случае могли бы вас просто разорить. По иронии судьбы такие богачи, как Уоррен Баффет, могут сэкономить на страховке автомобиля, жилья или даже здоровья, потому что миллиардеры могут себе позволить практически любые несчастья, которые приключаются с людьми.
И вот тут мы наконец возвращаемся к пресловутому принтеру за 99 долларов. Предположим, вы купили замечательный новый лазерный принтер в какой-либо солидной торговой сети, например в Best Buy [27] . Когда вы подходите к кассовому аппарату, чтобы рассчитаться за покупку, продавец-консультант предлагает вам ряд вариантов продленного срока гарантии. Если вы заплатите дополнительно 25 или 50 долларов, Best Buy починит или заменит ваш принтер в случае его поломки в ближайшие год-два. Зная основы теории вероятностей, страхового дела и экономики, вы должны сразу же сделать следующие выводы: 1) Best Buy – коммерческая организация, которая стремится максимизировать свою прибыль; 2) продавец-консультант пытается навязать вам какой-либо из вариантов продленного срока гарантии; 3) исходя из пунктов 1) и 2) вы можете заключить, что стоимость такой гарантии будет выше, чем ожидаемая стоимость ремонта принтера для Best Buy (если бы это было не так, Best Buy вряд ли столь настойчиво вас бы уговаривала); 4) если ваш принтер за 99 долларов поломается и вам придется платить за его ремонт из собственного кармана, это никаким особым образом не повлияет на вашу жизнь.
27
Ранее в этой книге я привел пример, в котором упоминалось о нетрезвых работниках, выпускающих бракованные лазерные принтеры. Выбросьте его из головы: будем исходить из того, что компания, выпускающая лазерные принтеры, уже решила проблемы с качеством.
В среднем вы заплатите за продление гарантийного срока больше, чем пришлось бы выложить за ремонт принтера. Более универсальный урок – и один из основополагающих в деле личных финансов – заключается в том, что вы всегда должны страховать себя от любых неблагоприятных обстоятельств, которые могут внести существенный дискомфорт в вашу жизнь. Застраховываться от всего остального не имеет смысла.
Математическое ожидание также может помочь в принятии сложных решений, которые обусловливаются многими обстоятельствами в разные моменты времени. Допустим, кто-то из друзей попросил вас инвестировать один миллион долларов в исследовательский проект, связанный с разработкой новейшего средства от облысения. Вы, скорее всего, поинтересуетесь, каковы шансы проекта на успех, и получите весьма неоднозначный ответ. Так как речь идет об исследовательском проекте, вероятность того, что ученым удастся найти эффективное средство от облысения, составляет лишь 30 %. В случае неудачи вам вернут только 250 000 долларов от вложенного миллиона, поскольку именно такая сумма была зарезервирована для вывода нового средства на рынок (тестирование, маркетинг и т. п.). Даже если исследователи добьются успеха, существует лишь 60-процентная вероятность того, что Управление по санитарному надзору за качеством пищевых продуктов и медикаментов США одобрит это чудодейственное средство для медицинского применения. Но даже в том случае, если средство не только окажется эффективным, но и будет признано как безопасное для человека, существует 10-процентная вероятность того, что кто-либо из конкурентов предложит примерно в то же время еще более эффективный препарат, что лишит вас каких-либо надежд на получение прибыли. Но если удача будет во всем вам сопутствовать (ваше средство против облысения окажется эффективным и безопасным для человека, а ваши конкуренты не предложат ничего лучшего), оптимальная оценка доходности инвестиций составит 25 миллионов долларов.