Хаос и структура

Лосев Алексей Федорович

с) Но если понятна диалектическая сущность пространственных измерений, то понятно и то, почему их в основном три. Это непреложно так же, как тверда диалектическая триада: внемерная точка превращается через свое одномерное инобытие (или отрицание) в двухмерную «идеальную» законченность (первая триада), которая, чтобы стать «реальной», должна вновь отрицать себя, т. е. противополагаться «факту» и, как всегда в диалектике, отождествляться с ним, что и означает переход идеальной двухмерной плоскости в полное трехмерное тело.

Заметим, что из математиков, кажется, только Пуанкаре понял сущность того, почему «пространство имеет три измерения». Именно, он решает этот вопрос при помощи понятий «непрерывности» и «сечения». Можно ли, спрашивает он, деформировать плоскость в прямую, пока эта деформация непрерывна? Очевидно, нет. Нужна тут прерывность. Значит, уже по одному

этому проблема пространственных измерений глубочайше связана с категорией прерывности и непрерывности. Когда на прямой некая точка признана таковой, что ее нельзя переходить, то, очевидно, линия в этой точке прерывна. На плоскости одна запретная точка уже не создаст прерывности, потому что ее всегда можно будет обойти. Тут принципом прерывности будет, очевидно, не точка, а линия. Когда же мы имеем тело, то и запретная линия нисколько не помешает непрерывности и только плоскость, если она признана непроходимой, способна сделать шар прерывным и, таким образом, рассечь его. Ясно, стало быть, что «сечение» — это такая категория, которая необходима для понимания пространственного «измерения». Непрерывность измерений есть поэтому непрерывность, сводящаяся на — 1 измерений путем установления в ней сечения [35] .

35

А. Пуанкаре. Последние мысли. Пер. под ред. А. П. Афонасьева. Птгр., 1923 (статья «Почему пространство имеет три измерения?»).

Это простейшее рассуждение Пуанкаре имеет только тот недостаток, что оно слишком эмпирично и лишено всякой диалектики. Кроме того, у него понятно, что такое измерение вообще, но непонятно, в сущности, почему измерений обязательно три. Тем не менее Пуанкаре правильно почувствовал направление, в котором этот вопрос может быть разрешен. С диалектической точки зрения антитеза непрерывности и сечения есть не больше, как только противоположность алогического, т. е. в конце концов отрицания, и — утверждения, или небытия (инобытия) и бытия. Диалектика, однако, дает гораздо больше: она учит еще, как нужно понимать эту противоположность в той ее форме, когда она становится синтезом. Концепция Пуанкаре выигрывает в своей интуитивной конкретности, но проигрывает в логической конструктивности и системе.

7. а) Возникает и еще один давно уже назревший у нас вопрос в связи с диалектикой пространства: что такое пространство больше, чем в три измерения, и как оно возможно? Равным образом, из предыдущего выясняется, что если диалектика измерений есть не что иное, как повторение основных диалектических категорий, то должно быть пространство, соответствующее и последней из тех категорий, которые мы приняли как первоначальные основные, а именно выражению. Категории до «ставшего» включительно конструируют в геометрии трехмерное тело. Что же конструирует тут энергийное выражение? Эти два вопроса — о том, как возможны «-мерные пространства, и о пространственном корреляте (в смысле «измерений») общедиалектической категории выражения, — эти два вопроса и есть один и единственный вопрос, потому что измерения выше трех могут быть конструированы только при помощи учения о выражении.

b) Выражение не дает ничего нового в смысле «факта», в смысле «наличного бытия», или ставшего; это один и тот же факт — выраженный и невыраженный. Поэтому, сколько бы измерений мы ни имели, в основе все равно всегда и неизменно остается тело трех измерений, если стоять на чисто онтологической точке зрения. Меняется только выраженный смысл бытия, а не его последняя субстанция. Выражение вносит инобытийную деформацию в тот смысл, которым уже обладает трехмерное пространство. А именно, ставится вопрос о кривизне пространства. Подробное проведение этого принципа выраженности привело бы к диалектической дедукции разных геометрий, могущей дать, как всегда, сначала триадиче–ское деление, а потом и более детальное. Относя эту дедукцию в геометрический отдел нашего исследования, мы, однако, должны будем сказать самое существенное об этом уже в дедукции аксиом выразительности. Сейчас же мы укажем на то, что основная выразительная триада, которую можно было бы прежде всего формулировать, — это разделение всех геометрий на

1) эллиптическую, где мера кривизны положительна (геометрия Римана),

2) гиперболическую, где мера кривизны отрицательна (геометрия Лобачевского) и

3) параболическую, где мера кривизны — нуль (геометрия Эвклида).

Диалектическое взаимоотношение этих трех типов геометрии

есть взаимоотношение утверждения, отрицания и нуля. Этим вполне определяется выразительная сущность пространства. Детали же — в своем месте.

§ 56. Аксиома определенности (закона) бытия в теории множеств.

1. Закон бытия, или метод определенности, дает схему, по которой объединяются отдельные моменты в цельную совокупность. Арифметический закон такой объединенности есть вне–инобытийная, или, как мы говорим, инобытийно–нулевая схема. Тут числа объединяются вне своего специфического порядка и размещения. В геометрии — обратно. Геометрия изучает пространственные построения. Как таковые, они не могут не содержать в себе идеи упорядоченности. Когда мы говорим, например, о треугольнике, то никакое понятие трех, взятое в своей арифметической чистоте, никогда не даст представления о треугольнике. Тут входит принцип инобытий–ного взаиморасположения трех отвлеченных единиц. В теории множеств мы возвращаемся опять к арифметической вне–инобытийности, но эта вне–инобытийность не абсолютна в своей абстрактной изоляции, а содержит в своем смысловом составе разнородную упорядоченность, заимствованную из геометрической инобытий–ности. Можно противопоставлять, например, некую отвлеченную идею и реальную вещь, и они будут противоположностью чистого смысла (или чистого бытия) и отрицания смысла (инобытия). Однако можно сконструировать образ, который появится как полный синтез и неразличимость того и другого. Этот образ будет, с одной стороны, чистым смыслом, и никакой вещественности в нем не будет. С другой стороны, он будет разрисован и скомбинирован так, что окажется полной копией вещи, буквальным повторением всей той упорядоченности и взаиморазмещенности, которую дала вещественно–пространственная форма. Одно дело — отвлеченная идея постройки, другое — конкретно–построенный дом, а третье — это технический план и проект дома, где нет ни абстрактного смысла, ни полной вещественности, но есть овеществленный смысл и осмысленная вещественность.

Эта примитивная диалектическая установка, без которой нигде в диалектике нельзя обойтись, является в нашем случае основой и принципом рассуждения. Определенность бытия во множестве есть именно совмещенность арифметической нулевой инобытийности и геометрического пространственного упорядочения. Получается особого рода упорядоченность, которую нужно назвать теоретико–множественной и которая в одинаковой мере и совпадает с арифметической и геометрической, и отличается от них.

Аксиома определенности (закона) в теории множеств: множество есть совокупность элементов, появляющаяся в результате операций над теми или другими совокупностями при инобытийно–нулевой значимости их взаимораспределения, — после их возвращения, однако, из инобытия к самим себе. Или: множество всегда содержит в себе свой тип.

2. Последний термин «тип» математики ввели в теорию множеств недаром. Правда, обычное употребление этого слова исключительно формально–логично. Когда говорят «два типа карандашей», «три типа построек» и проч., то «тип» равносилен термину «вид» или «род». В теории множеств, однако, этот термин приобретает совсем другое содержание, возвращающее нас к античности, и, в частности, к греческому языку. «Тип» — от греческого глагола — «бью», «выбиваю»; «тип» — то, что выбито, высечено, — например барельеф. В теории множеств тип есть наглядно данная фигурность числа, специфически выраженная целостность числа. Хотя сами математики большею частью и не отдают себе в этом отчета, но уже с самого начала ясно, что именно такого рода интуиции были здесь направляющим принципом.

Достаточно указать на то, как определяется «тип» в теории множеств. Тин, говорят, есть то, что обще множествам, подобным между собою. Это определение очень характерно. Поскольку подобие вытекает из возможности взаимоналожения, а взаимоналожение предполагает одинаковость распределения, одинаковую упорядоченность элементов данных множеств, то, разумеется, общее между двумя одинаково внутренне распределенными множествами может быть только сама же эта, в общих случаях тождественная, распределенность. Я в этих случаях говорю проще: тип есть просто какая–нибудь определенная числовая фигурность. Элементы расположены так, что они, вместе взятые, образуют некую фигурность, хотя она и не геометрическая, но чисто числовая же, и это–то и есть тип множества. Ведь не обязательно гипостазировать идею порядка чисто пространственно. Абстрактно–числовые акты полагания тоже могут быть различным образом взаимораспределен–ными. Эту чисто числовую взаиморасиределенносгь элементов и изучает теория множеств под видом учения о типах.