Хаос и структура

Лосев Алексей Федорович

К бытию числа в этом смысле относятся прежде всего натуральный ряд чисел и все арифметические операции над числом. Сюда же относятся также и модификации числа, возникающие в связи с выделением в нем элементов бесконечного процесса. Первое вместе с анализом основных типов числа является предметом арифметики и алгебры. Второе есть предмет математического анализа, т. е. дифференциального и интегрального исчисления вместе с его модификациями (напр., вариационное, или векторное, исчисление). Для всех этих математических наук характерно употребление или чистых арифметических чисел, или их специальных дублетов — функций, причем числа берутся как устойчивые, так и в своем переходе в переменные величины, в разных смыслах переменности — прерывной, непрерывной, конечной, бесконечной и пр.

Можно попробовать зафиксировать это единое числовое построение и терминологически. Оно есть прежде

всего арифметически–алгебраически–аналитическое понятие и употребление числа. Но можно дать и одно общее название этой области, совмещая постоянство, переменность и пр. частные категории. Кажется, здесь был бы до известной степени удобен термин «интенсивное число». В понятии интенсивности совмещаются открытая и непосредственная значимость числа в арифметике, функциональная и символическая (буквенная) выраженность его в алгебре и анализе и конечно–бесконечные, непрерывно–прерывные процессы счисления.

II. Бытию противоположно инобытие, и утверждению числа должно быть противоположно отрицание числа. Но что может быть противоположно числу? И что, собственно, есть отрицание числа? Число — раздельность и устойчивая различенность прежде всего. Утверждение числа — утверждение этой раздельности и различенности, утверждение неразличенного числового инобытия. Инобытие вообще всегда есть, как противоположность бытию, неразличенность и алогическое протекание. Но тут не просто противоположность числу, а противоположность положенному числу. Следовательно, вся антитеза перенесена на почву дальнейшей ступени, которая по сравнению с чистым числом есть реальная угвержден–ность. Поэтому и противоположность утвержденному числу должна быть реально положена. Это реальная поло–женность числовой неразличенности, реальная утверж–денность инобытийно–числового безразличия.

Это то, что в математике называется континуумом. Тут, несомненно, диалектическая противоположность числу, и притом противоположность именно утвержден–ному числу. В то время как в недрах, т. е. внутри, утвержденного числа мы вст ретили такую категорию, как непрерывность, здесь, когда речь идет о специальном расширении утвержденного числа, о его инобытийном осуществлении, здесь уже недостаточно говорить о непрерывности, а надо говорить о континууме. Континуум есть именно реально положенная непрерывность, реальное утверждение непрерывного процесса.

Арифметически–алгебраически–аналитическое число есть та или другая степень чисто числовой раздельности. В таких науках, как векторно — [тензорное ] исчисление, число достигает огромной сложности в своих едино–раздельных структурах. Но вот мы достигаем вершины этого усложнения числовых раздельностей, и перед нами, стоящими на этой вершине, открывается необозримое поле темного безраздельного «пространства», где уже нет ничего живого и где все числовые утвержденносги слиты в один безразличный и алогический туман. Это и есть антитеза утвержденному числу. Это — континуум.

Континуум не остается тем пустым безразличием, каким он открывается с вершин числовых оформлений. Навсегда он остается безразличием только с точки зрения чистого числа. Но в нем возможны и необходимы различные оформления так же, как и везде, хотя и с обязательным учетом всего своеобразия этой области, где осуществляется оформление. В то время как в области чистого числа, например, раздельное полагание создает единицу, в области континуума раздельное полагание [117] [дает] точку. Один и тот же смысловой акт полагания дает в разных областях разные конструкции. Нужно только учитывать своеобразие области, где происходят акты полагания и единства [118] , даже тождества, смысловых актов, которые происходят в этих областях. Тогда на основе континуума образуется особая система определенных структур, вполне параллельная системе арифметически–алгебраически–аналитических функций числа.

117

В рукописи: полагает.

118

В рукописи: единство.

Эта система есть геометрия в разных ее видах и формах, т. н. элементарной, проективной, аналитической, дифференциальной, многомерной и пр.

Такое число, пребывающее в своем инобытии, уже не есть просто число. Но для единства терминологии назовем и эти континуальные и геометрические построения сферой числа, но только экстенсивного числа. Число в своем инобытии, число вне себя есть

экстенсивное число.

III. Бытие и инобытие, при всем своем противопола–гании, при всей несовместимости, должны быть положены как обычный акт, должны синтезироваться в некоем безразличном тождестве. Мы уже знаем, что в диалектике это есть граница и очерченность, а также и вообще расчерченность, заполненность формами, образность. Число должно быть раздельность и счетность раздельных моментов. Континуум и геометрические фигуры должны дать заполненность этих раздельно–счетных моментов некоей смысловой материей, материей геометрического континуума. Синтез требует, чтобы число геомет–ризировалось и геометрия стала числовой.

Когда число, оставаясь числом, геометризируется, это значит, что оно становится смысловой, умной фигурно–стью. Число, «состоя» из своих единиц, мыслится в арифметике, алгебре и анализе вне всякой своей фигурности, вне той или иной расставленности этих составных единиц. Считая, напр., пять единиц, входящих в число пять, мы совершенно не принимаем во внимание характера «расстояний», залегающих между этими отдельными единицами. И это было бы в данном случае даже бессмысленным. Однако мы можем представить себе, что эти расстояния тут разные, что из комбинации этих разных расстояний и направлений получается вполне определенная умственная фигура. Спрашивается: от чего может зависеть эта разность «расстояний» и «направлений»? От числа как такового, т. е. чистых актов полагания, это совершенно не зависит, так как они везде одни и те же независимо ни от «расстояний», ни от «направлений». Зависеть это может только от другого принципа, от иноприродного принципа, от принципа уже не счетного, а наполняющего, направляющего и как бы напрягающего или вытягивающего эту счетность. Это и есть принцип континуума. Таким образом геометризируется число. Оно становится умственной фигурностью. С другой стороны, в этом синтезе не только число должно геометри–зироваться, но и геометрия должна стать числовой. Как это может произойти? Это не может произойти так, чтобы геометрическая фигура оставалась сама по себе, а мы только завели бы ее числовой коррелят. Так именно и обстоит дело, напр., в аналитической геометрии. Здесь мы имеем какую–нибудь параболу и находим ее уравнение, т. е. переводим ее на язык чисел. Ни парабола, взятая чисто геометрически, не дает никакого представления об ее уравнении, ни данное уравнение параболы (у = ах²}, взятое как таковое, нисколько не говорит ни о какой кривой, а есть самая обыкновенная отвлеченная функция. Тут просто перевод с одного языка на другой; и тождественным в том и другом является только момент счетности, отвлеченной количественной оформлен–ности данной кривой и данной функции. Поэтому аналитическая геометрия (и никакая вообще геометрия, если она остается геометрией) не может дать искомого нами синтеза числа и континуума и должна быть отнесена к сфере континуально–геометрического инобытия числа, не больше того.

Полный синтез (а всякий диалектический синтез есть полное и абсолютное слияние и тождество тезиса и антитезиса) требует, чтобы получилось не тождество в том или другом отношении между числом и континуумом (такое тождество есть просто различие, а не тождество), но абсолютное тождество, субстанциальное тождество того и другого. В предыдущем случае число (функция) остается само по себе, и кривая остается сама по себе, и тождество между ними не субстанциальное, но отвлеченно–смысловое: по функции (если ее брать как функцию, не привнося в нее никакого иного толкования) нельзя догадаться, что речь идет о данной кривой, а в кривой, если ее брать чисто оптически–геометрически, нельзя вычитать никакого уравнения. Здесь же, в этом полном синтезе, рассматривая данную структуру, мы уже не находим в отдельности число и в отдельности его континуальное инобытие, а видим то, в чем то и другое пребывает неразличимо.

Это есть то, что в современной математике носит название множества [119] . Множество как раз есть некая умственная фигурность, где число состоит из разнообразно взаимоотносящихся элементов и где континуум преобразован в некую специально «упорядоченную» последовательность. Наука эта есть наука о множествах, созданная гением Ieopra Кантора. Правильно говорится, что здесь мы имеем наиболее общее представление числа, так как все, напр., арифметические свойства числа дедуцируются из понятия множества как частный случай.

119

В рукописи далее оставлено место, видимо, для иноязычных терминов.