Искусственный спутник Земли
Шрифт:
По закону Кеплера:
Полученная формула позволяет для любого заатмосферного спутника подсчитать период его обращения вокруг Земли. Вот таблица, дающая результаты подобных вычислений. В первой ее графе указаны расстояния спутника от центра Земли (r), во второй — его высота над земной поверхностью (h), а в третьей — приближенное значение периода (t).
r
h
t
6570
км
200
км
1
6927
км
557
км
1 час 35 мин.
8039
км
1669
км
2 часа
12740
км
6370
км
4 часа
19110
км
12740
км
7,3 часа
42370
км
36000
км
24 часа
Зная расстояние спутника от Земли (r) и его период обращения (t), легко найти скорость, с которой спутник движется по своей орбите. Обозначим искомую скорость буквой ?. Тогда, по известной формуле для кругового движения, получаем
Легко убедиться, подставляя в данную формулу из предыдущей таблицы различные значения r и t, что с удалением от Земли скорость спутника уменьшается и на высоте 36 000 км она становится равной всего 3,1
Таким образом, если человечеству удастся создать искусственный спутник Земли, то вселенная обогатится еще одним небесным телом, которое, несмотря на свое искусственное происхождение, будет в своем движении подчиняться тем же законам, что и настоящие небесные тела.
В конце задачи Ньютона сказано, что можно заставить тело навсегда «уйти в небесные пространства и продолжать удаляться до бесконечности». В сущности здесь утверждается, что возможно сообщить такую скорость телу, при которой оно не упадет на Землю и даже не станет ее спутником, а навсегда покинет нашу планету, отправившись в межпланетное путешествие. Возможно ли это?
Закон всемирного тяготения, открытый Ньютоном, утверждает, что тела[1] с массами M и m притягивают друг друга с силой, пропорциональной произведению их масс и обратно пропорциональный квадрату расстояния (r) между ними. Иначе говоря:
где f — коэффициент пропорциональности, называемый постоянной тяготения.
Из закона тяготения вытекает важное следствие. Допустим, что тело с массой m находится на поверхности планеты, масса которой М, а радиус равен R. Тогда, как можно доказать методами высшей математики, работа,
Вернемся снова к задаче Ньютона. Чтобы снаряд, выброшенный из ньютоновой пушки, смог улететь в бесконечность, необходимо сообщить ему такую кинетическую энергию, которая бы равнялась указанной выше работе.
Следовательно, если масса снаряда m, а скорость его вылета ?, то
В первом приближении, вес снаряда, находящегося на Земле, есть сила его притяжения к Земле, т. е.
Сравнивая две полученные формулы, приходим к заключению, что искомая скорость (без учета сопротивления воздуха) может быть найдена по формуле
Оказывается, отправиться в путешествие по вселенной дело непростое — для этого нужно приобрести начальную скорость не менее 40 000
Разумеется, во времена Ньютона, когда транспортные средства сообщения ограничивались кабриолетами и дилижансами, огромные скорости казались возможными лишь в мире небесных тел. С такой чисто астрономической точки зрения и рассматривал Ньютон решение своей знаменитой задачи.
Ему удалось не только найти скорость отрыва от Земли, но и вычислить, по какой же кривой в этом случае полетит брошенное тело. Мы не будем приводить вычислений Ньютона, потому что нахождение всех возможных траекторий брошенного тела в задаче Ньютона требует применения высшей математики. Ограничимся лишь тем, что укажем конечные результаты.
Оказывается, снаряд, покинувший ствол ньютоновой пушки в горизонтальном направлении со скоростью 11,2
У читателя естественно мог возникнуть вопрос: что же произойдет со снарядом, если его скорость будет больше «круговой» скорости в 8