Искусство большего. Как математика создала цивилизацию
Шрифт:
Преимущества математики как основы царства Шульги были так велики, что в следующем поколении математика стала в этом государстве величайшим из ремесел и важнейшим элементом подготовки писцов. К началу 2-го тысячелетия до нашей эры квалифицированный писец должен был уметь читать и писать по-шумерски и по-вавилонски, а также иметь музыкальные и математические навыки. Нужная писцам математика не сводилась к простому бухгалтерскому тасованию цифр, а предполагала осуществление чрезвычайно сложных – и как будто бы бесполезных – вычислений. По сути, писцам нужно было решать такие, например, задачи: “Я сложил периметр, диаметр и площадь круга и получил 115” – каков его радиус? [16] Это была математика ради математики, которая считалась одной из “добродетелей”. Только владея математикой, образованный писец мог считать себя мастером nam-lu-ulu, или, в переводе с шумерского, “искусства
16
H?yrup J. On a collection of geometrical riddles and their role in the shaping of four to six “algebras”. Science in Context. 14, no. 1–2 (2001): 85–131. (Ответ: 4,874. Его можно вычислить с помощью квадратного уравнения, с которым мы еще не познакомились.)
В таком случае не приходится удивляться тому, что мы обнаружили не один десяток тысяч древних глиняных табличек, на которых были не только расчеты. Многие из них использовались как вспомогательные математические инструменты: таблицы умножения и деления, списки квадратов чисел (произведений, получаемых при умножении числа на само себя) и обратного – квадратных корней. У нас имеются глиняные записи о том, как работать с дробями и решать алгебраические задачи, а также как использовать такие геометрические инструменты, как приблизительное значение числа пи и квадратный корень из 2. В последующих главах мы поговорим о важности этих инструментов и техник, а пока достаточно лишь сказать, что в те времена, когда зародилось то, что мы называем цивилизацией, числа были краеугольным камнем общества.
Искусство счета наделило нас исключительной силой. Шульги понимал, насколько полезна математика, и благодаря этому – по крайней мере, отчасти – его царство достигло беспрецедентного могущества. Он завершил начатое при его отце строительство Великого зиккурата в Уре, проложил разветвленную дорожную сеть и обеспечил расширение торговли с арабскими и индийскими сообществами. Все это стало возможным не потому, что математику изобрели, а потому, что ей нашли применение – в политических целях. И вскоре эта стратегия оправдала себя в других местах.
Возможно, мы уделяем слишком много внимания математической смекалке шумеров и вавилонян просто потому, что их привычка к записи повседневной жизни на глиняных табличках обеспечила нас множеством доступных артефактов. Общества, которые опирались на устную традицию, плохо представлены в нашем рассказе о том, как математика вплеталась в ткань любой цивилизации. Взять, к примеру, народ аканов из Западной Африки. В доколониальный период они пользовались сложной математической системой при взвешивании золота, используемого в торговле. В ней было два компонента: один – для работы с арабской и португальской системами весов, а второй – для работы с голландскими и английскими мерами. Ученые, которые сумели ее воссоздать, изучив артефакты, хранящиеся в музеях по всему свету, полагают, что ее стоит внести в список Всемирного наследия ЮНЕСКО за одну только головокружительную сложность [17] .
17
Crappier J.-J. et al. The Akan Weighing System restored after 120 years of oblivion. A metrological study of 9301 geometric gold-weights. Colligo 2. 2 (2019): 9–22.
Неудивительно, что капитаны невольничьих судов, заключавшие сделки с африканскими работорговцами, называли тех “мастерами арифметики” [18] . В одном источнике говорится: “У торговца может быть рабов десять на продажу, и за каждого из них он просит десять разных вещей. Он мгновенно в уме переводит их цену в слитки, монеты, унции в зависимости от того, какое платежное средство более распространено в той части страны, где он проживает, и тотчас подбивает баланс”. Тот факт, что инструкции по применению этой системы расчетов передавались из уст в уста, производит еще более глубокое впечатление, но также значит, что как раз работорговля и подрывала ее использование. Невозможно установить, сколько великих математических умов было перевезено в Европу, в Северную и Южную Америку и на Карибские острова, где им больше не нашлось применения. В результате богатые африканские математические традиции так и не были оценены по достоинству – за исключением разве что тех, которые получили распространение в Древнем Египте.
18
Scripture E. W. Arithmetical prodigies. American Journal of Psychology. 4, no. 1 (1891): 1–59.
Если оценивать названия книг, то “Наставление, как достигнуть знания всех темных вещей” – это отпад. По названию можно подумать, что это книга из сырого подвала какой-нибудь лавки колдовских товаров, в которой объясняется, как призывать духов для осуществления всяческих козней. Но это не так. На самом деле это древнеегипетский учебник математики.
На Западе он более известен как папирус Ринда – по фамилии шотландского юриста, который около 1858 года приобрел его в Фивах. Большая часть рукописи (длина всего документа составляет 5,5 метра) хранится в Британском музее в Лондоне. Остаток – в Бруклинском музее в Нью-Йорке. Она была создана древнеегипетским писцом Ахмесом около 3,5 тысячи лет назад. Ахмес (имя которого значит “рожденный на луне”) скопировал тысячелетний текст с описанием математических приемов, применявшихся древнеегипетскими жрецами.
Древнеегипетское царство зависело от расчетов, связанных с ежегодным разливом Нила. Инженеры снимали показания глубиномеров и сообщали об изменениях уровня воды. Жрецы-астрономы вели календари, чтобы египтяне могли подготовиться ко дню гелиакического восхода Сириуса – моменту, когда звезда оказывалась достаточно далеко от Солнца относительно Земли, чтобы снова появиться на земном небосводе. В этот день заканчивалась подготовка к очистке каналов и ремонту стоков.
Благодаря расчетам египтяне прекрасно справлялись с тем, чтобы направлять разливающиеся воды Нила в каналы и на сельскохозяйственные угодья, где плодородные наносы оседали на земле. Как только вода уходила в землю или возвращалась по каналам обратно в основное русло реки, начинался новый земледельческий сезон, но сначала происходили разделы и перераспределения угодий.
При разливе вода смывала все границы и межевые отметки, поэтому писцам приходилось записывать, сколько земли домохозяйства обрабатывали в прошлом году. После этого администраторы выделяли им эквивалентный участок только что удобренной земли, площадь которого определяли с помощью действий, которые мы сегодня сочли бы примитивной арифметикой. Они, вероятно, были довольно примитивны и для древних египтян, но явно считались достаточно важными, поскольку писцы регулярно копировали ветшающие документы с описанием процесса.
Значительная часть папируса Ринда, по сути, представляет собой введение в науку о дробях. Возможно, вы удивитесь, узнав, что дроби изобрели не чтобы пытать школьников, а чтобы управлять экономикой. Цивилизации, которой нужно было знать, сколько зерна содержится в цилиндрическом хранилище, и выполнять волю правительства при разделе земли, распределении продовольствия и оплате труда, целых чисел – тех, что нам уже знакомы, – было недостаточно.
С помощью целых чисел наш мозг соотносит объекты окружающей среды с абстрактными понятиями “единицы”, “двойки” и так далее, и именно ими мы оперируем, когда считаем на пальцах (которые, если нам повезло, существуют также в виртуальной форме у нас в голове). Дроби – дело другое. Это способ делить целые числа, сравнивая одно с другим. И возни с ними немало: идея о том, что целые числа делятся на части, – ужасающий скачок вперед для мозга, который не был приспособлен в рамках эволюции представлять такие вещи.
Если в школе дроби вам никак не давались, вы совсем не одиноки. Хорошую компанию вам, например, составил бы Леонардо да Винчи. Несмотря на свои великие достижения в искусстве, инженерии и астрономии, он совершенно не умел работать с дробями [19] . Его записи показывают, что он ошибался всякий раз, когда ему приходилось перемножать их или делить. Так, он просто не мог поверить, что частное при делении на дробь величиной меньше единицы (например, на 2/3) оказывается больше делимого [20] .
19
Duvernoy S. Leonardo and theoretical mathematics. Nexus Network Journal. 10,1 (2008): 39–49.
20
Если вы сочувствуете Леонардо, в этом нет ничего удивительного. Разумеется, можно просто принять, что при делении на число меньше единицы частное оказывается больше делимого. Не помешает, впрочем, разобраться в этом на примере. Допустим, мы делим 10 шоколадок между 5 хоккейными командами. Каждая команда получает по 2 шоколадки. Теперь допустим, что мы делим шоколадки между 2 командами. В таком случае каждая команда получает по 5 шоколадок. Чем меньше оказывается делитель, тем больше становится частное. Так продолжается, пока делитель не достигнет 1. Рассмотрим числа меньше 1. Допустим, мы делим 10 шоколадок между 1/3 команды. Треть хоккейной команды – это 2 человека. Следовательно, 10 шоколадок делится между 2 игроками, то есть каждый игрок получает по 5 шоколадок. Но это равнозначно тому, как если бы вся команда получила 5 x 6 = 30 шоколадок. Итак, при делении 10 на 1/3 получается 30.