История математики. От счетных палочек до бессчетных вселенных
Шрифт:
Теория чисел рассматривается в седьмой, восьмой и девятой книгах. У Евклида словом «числа» обозначались только целые величины. Определения в седьмой книге показывают, что работа с числами воспринималась в основном в геометрическом контексте. Евклид говорит, что «кратное число — большее от меньшего, если оно измеряется меньшим», а произведение двух чисел — площадь прямоугольника. Есть также знаменитое правило, известное как «Евклидов алгоритм», позволяющее найти наибольший общий множитель двух величин, или, по словам Евклида, «наибольшую общую меру между двумя величинами». В девятой книге мы находим известное доказательство, которое, говоря современным языком, утверждает существование бесконечного числа простых чисел. Евклид отчетливо избегает упоминания бесконечности. Он заявляет, что «простых чисел больше любого наперед заданного количества» (иными словами, мы можем выбрать любое число, и простых чисел будет все равно больше, чем это число), и переходит к доказательству этого тезиса, взяв три конкретных простых числа, лишь подразумевая, что решение будет таким же для «любого наперед заданного количества». В этой книге также приведено правило построения совершенных чисел. Совершенное число — это число, сумма множителей которого равна
Десятая книга содержит подробный анализ различных иррациональных длин, и именно здесь мы находим идею несоизмеримости между основными величинами, сводящуюся к понятию иррациональности между длинами (и площадями). Если некий отрезок определен как рациональный, тогда любой другой отрезок, несоизмеримый с ним, считается иррациональным. Приводятся длинные доказательства для всех типов иррациональности, от простых квадратных корней до кратных корней вроде ( a + b). Дискуссия о способах выражения иррациональных чисел в цифровой форме проливает свет на некоторые интересные проблемы. Числовая нотация (представление) иррационального числа, основанная на алгоритме Евклида, действительно существовала, но, хотя она была полезной для представления одного иррационального числа, простой процедуры для отображения в этой нотации сумм или произведений иррациональных чисел так и не нашлось. Любопытна Лемма 1 (лемма — это вспомогательное предложение, употребляемое при доказательстве одной или нескольких теорем), изложенная в этой книге: она демонстрирует два квадрата чисел, сумма которых тоже представляет собой квадрат числа, — в сущности, это теорема Пифагора в числовом виде, однако никакой ссылки на доказательство теоремы, приводимое в конце первой книги, здесь нет. Именно в десятой книге содержится дерзкое предположение, что подобные численно-геометрические процедуры — лишь первый шаг к более сложным задачам, в частности к задачам вычисления площадей, проблеме квадратуры. Также следует отметить, что все иррациональные числа, о которых говорится в книге, могут быть построены с помощью линейки и циркуля, — а вот, например, кубических корней там нет. В последних разделах «Начал» громоздкая классификация иррациональных чисел становится более понятной — там они вновь появляются в связи с описанием тел правильной формы.
В заключительных трех книгах «Начал» рассматриваются вопросы стереометрии. Там используется метод исчерпывания Евдокса как способ найти площади и объемы путем последовательных приближений. Архимед приписал Евдоксу первое доказательство, что объем конуса равен одной трети объема цилиндра с теми же основанием и высотой. Считается, что большая часть двенадцатой книги основана на работах Евдокса. В тринадцатой книге приводится доказательство, что существует всего пять правильных Платоновых тел, построенных из треугольников, квадратов и пятиугольников [5] . Все они вписаны в сферу, и есть подробные указания по поводу относительных расстояний от граней каждого тела до центра сферы. Здесь используются иррациональные числа, описанные в десятой книге. Этим труд Евклида завершается.
5
Напомним: пять правильных Платоновых тел — это тетраэдр, гексаэдр (куб), октаэдр, додекаэдр и икосаэдр.
«Начала» были самым влиятельным учебником всех времен. Они многократно переписывались, к ним писались новые комментарии, дополняющие более древние. Книги переводились на другие языки и редактировались таким образом, чтобы соответствовать интересам и культуре разных цивилизаций. Восстановить оригинальную работу Евклида стало практически невозможно — к девятому веку нашей эры остались только фрагменты исходного текста. Однако наиболее важен тот факт, что работа Евклида не только выжила, но и отодвинула в тень все другие учебники, существовавшие до нее.
В течение некоторого времени Александрия оставалась научным центром. Там сначала учился, а затем преподавал Аполлоний Пергский (262–190 до н. э.), которого часто называют Великим Геометром. Самая известная его работа — специализированное исследование в области геометрии под названием «Конические сечения» (в 8 книгах). Конические сечения — это фигуры, получаемые в результате рассечения конуса под различными углами: круг, эллипс, парабола и гипербола. В Александрии учились Архимед, Птолемей и Диофант Александрийский (предположительно III в. н. э.). В IV веке нашей эры блеск Александрии начал угасать. В то время, когда главой платоновской школы стала Гипатия (ок. 370–415 н. э.) — дочь Теона Александрийского, первая женщина-математик, если верить сведениям, дошедшим до наших дней, — набирающее силу христианское движение становилось все менее терпимым к тому, что считало языческой наукой и философией. Смерть Гипатии от рук членов местной христианской секты считается началом конца Александрии — столицы наук. Центр научного мира переместился в восточном направлении — в Багдад.
5. Десять книг счетного канона
Поначалу китайская цивилизация развивалась по берегам рек Янцзы (Длинная) и Хуанхэ (Желтая) во времена легендарной династии Ся во втором тысячелетии до нашей эры. Династия Чан правила примерно с 1520 по 1030 год до нашей эры, после чего ее вытеснили захватчики Чжоу, которые к восьмому веку до нашей эры начали постепенно терять власть. Затем, приблизительно с 400 по 200 год до нашей эры, империя превратилась в раздробленную путаницу враждующих государств. Именно к этому периоду, известному как Период Сражающихся царств, относится первый чисто математический текст «Чжоу би суань цзин» («Канон расчета чжоуского/всеохватного гномона»). То было время Конфуция, одного из многочисленных ученых-перипатетиков, которые вели опасную жизнь советников при небольших правителях. Во времена воссоединения Китая при императоре Цинь Шихуанди произошло как объединение разрозненных оборонительных стен в Великую Китайскую стену, так и беспричинное сжигание книг. При следующей династии Хань (200 до н. э. — 200 н. э.) ученые искали рукописи, избежавшие уничтожения, и нередко восстанавливали тексты по памяти. К этому периоду относятся как важный математический текст «Цзю чжан суань шу» («Правила счета / методы вычислений в девяти разделах» / «Девять глав о математическом искусстве»), так и комментарии к «Канону расчета чжоуского/всеохватного гномона». Следующий значительный текст появился в седьмом веке нашей эры, когда во времена династии Суй (581–618) и династии Тан (618–907) была проведена образовательная реформа, в результате которой математика стала преподаваться в «Школе для сынов государства». Там использовался учебник, носивший название «Суань цзин ши шу» («Десять книг счетного канона» / «Математическое десятикнижие») — компиляция наиболее значительных работ, известных в то время. В него входили «Канон расчета чжоуского/всеохватного гномона» и «Девять глав». Этот учебник считался важным учебным пособием в течение многих столетий. В седьмом веке был совершен величайший инженерный подвиг — две величайшие реки Китая были соединены Великим каналом. В конце концов люди восстали против тягот, которые принесло им строительство этого канала, и просуществовавшая совсем недолго династия Суй уступила место династии Тан. Столица империи Тан — город Чанань (современный Сиань) — стала интеллектуальным мостом между Китаем и Средней Азией, играя ту же роль, что и другой большой космополитический город, расположенный намного западнее, — Багдад. В период трехсотлетнего правления династии Тан произошло изобретение книгопечатания и пороха. Наша экскурсия заканчивается династией Цзинь, которая просуществовала до 1234 года. Сейчас мы рассмотрим «Девять глав о математическом искусстве».
Интерес китайцев к магическим квадратам, похоже, больше связан с предсказаниями, чем с математикой. Легенда гласит, что император Юй, правивший в третьем тысячелетии до нашей эры, стал обладателем двух важных диаграмм на нефритовых пластинках. Одну он получил от волшебного дракона-лошади, который поднялся из Хуанхэ, а другую император вынул из панциря черепахи, найденной в реке Лохэ — правом притоке Хуанхэ. Первые иллюстрации волшебного креста и квадрата относятся к десятому веку, и вплоть до тринадцатого века никакие магические квадраты размером больше 3 x 3 не обсуждались. К этому времени упоминания о предполагаемых магических свойствах квадратов уже прекратились, а математик Ян Хуэй сконцентрировался на числовых свойствах разнообразных числовых квадратов и кругов. Начиная с девятого века свойства магических квадратов изучали арабские математики, и недавно в Сиане был найден арабский магический квадрат, относящийся к периоду монгольского завоевания Китая (1279–1368).
«Девять глав» — важнейший труд китайской математики. Сейчас почти невозможно вычленить оригинал из массы позднейших комментариев. Комментатор третьего века нашей эры Лю Хуэй заявляет, что в его время работа была в значительной степени переписана, был включен новый материал и выброшены некоторые ненужные разделы. Самая ранняя сохранившаяся версия текста датируется тринадцатым веком, но это только часть книги; наиболее полный текст относится к восемнадцатому столетию. Это очень похоже на нехватку оригинальных греческих текстов, хотя в данном случае промежуток между повторами и оригиналами, которые, как утверждается, он отражает, намного длиннее. «Девять глав» содержат 246 задач. Каждый раздел начинается с заявленной задачи, после чего приводится числовой ответ и метод, позволяющий получить решение. Не приводятся никакие логические объяснения или доказательства. Большая часть книги состоит из практических вычислительных задач, вроде распределения земли, разделения товаров и управления крупномасштабными строительными работами. В данном случае мы рассмотрим методы извлечения квадратных корней и решения уравнений.
Вычисления проводились путем выкладывания счетных палочек на счетной доске. Иногда счетная доска выполнялась в виде специальной сетки, но в некоторых текстах упоминается, что для подсчетов могла использоваться любая поверхность. Главное — правильно выложить палочки во время вычисления, что позволяет возобновлять прерванное вычисление с того места, где оно было прервано, что особенно важно при длительных расчетах. Ответы записывались сразу же после того, как они появлялись на счетной доске. Получающееся изображение числа палочками по своему характеру относится к десятичной системе счисления, но цифры с 1 до 9 строятся при помощи сложения — вертикальные палочки обозначали каждую единицу, а горизонтальная палочка обозначала 5. В некоторых источниках приводятся иллюстрации, на которых направление палочек меняется, но палочка, обозначавшая 5, всегда была перпендикулярна единицам — это, несомненно, визуально облегчало процесс счета и ускоряло вычисления. Использование специального символа для 5 перенесено на абаку, которая, похоже, не стала общепринятым инструментом счета вплоть до шестнадцатого века. Как и вавилоняне, китайцы, по-видимому, не имели особого символа для обозначения ноля. При раскладывании счетных палочек, там, где должен быть ноль, оставляли пустое место, но это, похоже, не фиксировалось при записи ответа, и только из контекста можно было понять, был ли ответ, скажем, 18, 108 или 1800. Есть письменное свидетельство — китайский перевод индийского текста, — что в восьмом веке в качестве ноля использовалась точка. Круглый ноль появился намного позже, в тринадцатом веке, равно как и «квадратный» ноль, легко получающийся при работе со счетными палочками.
Извлечение квадратного и кубического корней начинается с определения порядка величины корня путем осмотра, и затем по очереди вычисляется каждая цифра. В примере из «Девяти глав» вычисляется квадратный корень из 71 824. Легко понять, что значение квадратного корня находится между 200 и 300, и потому ясно, что это число из трех знаков — abc — где аравно 2. Таким образом, задача заключается в том, чтобы вычислить значения b и с. Объяснение процедуры вычисления, согласно Лю Хуэю, исходит из геометрии. Квадрат анализируется специфическим способом. Установив, что корень больше 200, мы удаляем из схемы квадрат 200 х 200, оставляя L-образную форму, называемую «гномоном». Затем мы находим максимальное значение десятков, которое вписывается в гномон. Это число 60, и в результате возникает следующий L-образный гномон. Процесс продолжается до тех пор, пока не будет получено требуемое решение. Если ответ — не целое число, процесс или продолжается до получения необходимого количества десятичных значений, или остаток дается в виде дроби. Та же самая техника используется для вычисления кубического корня — куб расчленяется аналогичным образом.