История твоей жизни (сборник) (2014)
Шрифт:
Он нахмурился.
– Не понимаю.
– Я открыла формализм, который позволяет приравнять любое число к любому другому числу. На этой странице доказывается, что один равен двум. Выбери любые два числа; я могу доказать, что и они тоже равны.
Карл как будто пытался что-то вспомнить.
– Это ведь деление на ноль, верно?
– Нет. Тут нет никаких запрещенных операций, никаких некорректно заданных условий, никаких независимых аксиом, которые бы подразумевались имплицитно, ничего. В доказательстве не использовано решительно ничего запретного.
Карл покачал головой.
– Подожди-ка.
– Но формально равна – доказательство ты держишь в руке. Все мною использованное – в рамках абсолютно бесспорных утверждений.
– Но ты получила противоречие.
– Вот именно. Арифметика как формальная система является неполной.
6b
– Ты не можешь найти, где ошибка, это ты хочешь сказать?
– Да нет же, ты не слушаешь, Ты думаешь, я мечусь из-за такой малости? В доказательстве ошибки нет.
– Иными словами, ошибка в том, что считается общепринятым?
– Точно.
– Ты… – Он остановился, но слишком поздно. Она поглядела на него враждебно. Ну конечно, она уверена. Он задумался о том, что это подразумевает.
– Теперь понимаешь? – спросила Рене. – Я опровергла большую часть математики. Иными словами, она утратила смысл.
Она становилась все более возбужденной, почти пришла в смятение.
– Как ты можешь такое говорить? – Карл тщательно подбирал слова. – Математика все еще работает. Наука и экономика не рухнут вдруг из-за этого открытия.
– Это потому, что математика, которой они пользуются, всего лишь трюк. Мнемонический костыль, как считать костяшки пальцев, чтобы определить, в каком месяце тридцать один день.
– Но это не одно и то же.
– Почему же? Сейчас математика не имеет к реальности решительно никакого отношения. Куда там такие понятия, как мнимые числа и бесконечно малые величины! Теперь треклятое сложение целых чисел не имеет отношения к счету на пальцах. На пальцах один плюс один всегда выходит два, но на бумаге я могу дать бесконечное число ответов, и все они будут равно действительными и, следовательно, равно недействительными. Я могу написать самую элегантную теорему на свете, а значить она будет не больше, чем какое-нибудь дурацкое уравнение. – У нее вырвался горький смешок. – Позитивисты раньше говорили, что вся математика чистой воды тавтология. Они все напутали: она чистой воды противоречие.
Карл попытался зайти с другой стороны.
– Подожди. Ты только что упомянула мнимые числа. Почему твои выкладки хуже их? Когда-то математики считали, что они не имеют смысла, а сейчас они приняты как азы. Ситуация та же.
– Не та же! Там решение заключалось в расширении контекста, а здесь это ничего не даст. Мнимые числа привнесли в математику нечто новое, а мой формализм пересматривает уже существующее.
– Но если изменить контекст, посмотреть на это в другом свете…
Она закатила глаза.
– Нет! Это следует из аксиом с такой же непреложностью, как сложение; это никак не обойдешь. Поверь моему слову.
7
В 1936 году Герхард Гентцен привел доказательство полноты арифметики, но
7a
Из Беркли позвонил Каллаган, но не смог предложить избавления. Он сказал, что и дальше будет изучать ее работу, но, похоже, она наткнулась на что-то фундаментальное и тревожное. Он хотел знать, планирует ли она опубликовать свой теоретический формализм, поскольку если он содержит ошибку, которую не может найти ни один из них, в математическом сообществе обязательно отыщутся те, кто сможет.
Рене едва в силах была слушать его голос и пробормотала, что еще с ним свяжется. В последнее время, особенно после ссоры с Карлом, ей стало трудно разговаривать с людьми. Остальные на факультете начали ее избегать. Она не могла ни на чем сосредоточиться, а прошлой ночью ей приснился кошмар, в котором она открыла формализм, позволяющий переводить произвольные утверждения в математическое выражение, и тогда она доказала, что жизнь эквивалентна смерти.
Вот это ее напугало: возможность того, что она теряет рассудок. Она определенно утратила ясность мысли, то есть уже подошла достаточно близко.
«Ну что ты за идиотка, – одернула она себя. – Разве Гёдель покончил с собой, доказав свою Теорему о неполноте?»
Но это была красивая, вдохновенная, одна из самых элегантных теорем, какие Рене когда-либо видела.
Ее собственное доказательство насмехалось над ней, издевалось. Как головоломка в детской книжке, она говорила: «Вот тебе, ты проглядела ошибку, посмотрим, сумеешь ли ты найти, где облажалась, – а потом поворачивалась и говорила: – Опять попалась».
Она воображала, как Каллаган обдумывает, какие последствия будет иметь ее открытие для математики. Большая часть математики не имела практического применения: она существовала исключительно как формальная теория, которой занимаются ради ее интеллектуальной красоты. Но это так не останется: теория, которая внутренне противоречива, настолько бессмысленна, что большинство математиков с отвращением ее отбросят.
Впрочем, по-настоящему приводило Рене в ярость то, что ее предала собственная интуиция. Проклятая теорема имела смысл, на собственный извращенный лад воспринималась как праведная. Рене ее понимала, знала, почему она истинна, верила в нее.
7b
Карл улыбнулся, вспомнив ее день рождения.
«Глазам своим не верю! Откуда ты мог знать?»
Она сбежала по лестнице, прижимая к груди свитер.
Прошлым летом они провели отпуск в Шотландии, и в одном магазинчике в Эдинбурге был свитер, с которого Рене глаз не сводила, но не купила. Он заказал его по каталогу и вчера вечером подложил в ящик гардероба, чтобы она нашла его наутро.
«Ты вся как на ладони», – пошутил он. Они оба знали, что это неправда, но ему нравилось ей так говорить.