Чтение онлайн

на главную

Жанры

Карты метро и нейронные сети. Теория графов
Шрифт:

+ Vn+1 = + 1 + Vn + = (+ Vn) + (+ 1) = (An + 2) + (K + 1) = (An + K + 1) + 2 = An+1 + 2.

Так доказывается знаменитая формула Эйлера, которая звучит следующим образом: в любом выпуклом многограннике выполняется соотношение

СV = A + 2.

Этот

результат может показаться тривиальным, но если немного подумать, то мы увидим, что это соотношение поистине удивительно: оно выполняется для любого выпуклого многогранника независимо от формы его граней, углов на гранях и углов между гранями, от длин ребер и других параметров. Формула, которая выполняется для бесконечно большого числа разнообразных фигур, не может не привлекать внимание. Здесь что-то не так. Практически не существует формул, которые справедливы для столь непохожих фигур.

* * *

РАЗУМЕЕТСЯ, А = С + V — 2. МОЖНО ЛИ ВЫБРАТЬ С И V ПРОИЗВОЛЬНО?

В выпуклом многограннике СV = А + 2, следовательно,

А = C + V — 2. (1)

Какие значения могут принимать С и V? Существуют ли какие-то ограничения? Может ли быть так, что С = 1000, а V = 2? Рассмотрим, каковы же ограничения на С и V.

Очевидно, что V > 4, так как многогранника, у которого меньше четырех вершин, не существует. В каждой вершине сходятся минимум три ребра, следовательно, 3V =< 2А, так как каждое ребро связывает две вершины. Следовательно, 3V =< 2С + 2V — 4, откуда следует

4 =< V =< 2С — 4. (2)

Также С > 4, так как чтобы ограничить часть пространства, требуется минимум четыре грани. Каждая грань должна иметь минимум три ребра, то есть 3С =< 2А = 2С + 2V — 4, откуда

4 =< С =< 2V — 4. (3)

Отношения (1), (2) и (3) соответствуют выпуклым многогранникам в пространстве. Простейшие примеры многогранников, у которых число граней С >= 4, — это пирамиды и бипирамиды. Многоугольник, число ребер которого равно 2К, и точка вне его образуют пирамиду, где С = 2К + 1. Для бипирамиды, которая получается, если совместить две такие пирамиды основаниями, С = 4К.

* * *

С помощью формулы Эйлера для выпуклых многогранников можно вычислить так называемую характеристику Эйлера — Пуанкаре:

Для сферы 

= 2. Если мы рассмотрим тор (поверхность вращения, получаемая вращением окружности вокруг оси, лежащей вне этой окружности), то получим 
= 0. Следовательно, в тороидальных многогранниках 0 = С + V — А. Родом поверхности

называется число отверстий в ней. Для сферы g = 0, следовательно, в тороидальных многогранниках = 1. Итак, 

и являются характеристиками поверхности, то есть число 2 в формуле С + V = А + 2 указывает на сферическую природу выпуклых многогранников. Для невыпуклых многогранников формула Эйлера не выполняется. В следующих разделах, где рассматриваются только выпуклые многогранники, мы подробно расскажем о следствиях формулы С + VА + 2.

Формула Эйлера для граней и вершин

Теперь мы знаем ограничения на число граней С и число вершин V выпуклого многогранника. Число ребер А полностью зависит от С и V. Попробуем исключить А из формулы Эйлера.

Чтобы полностью исключить А, нужно «более явно» выразить формулу Эйлера через С и V, уточнив, что скрывается за этими числами.

В выпуклом многограннике Р с числом граней С и числом вершин V обозначим за Сn число граней, имеющих n ребер, Vn — число вершин, в которых сходятся n ребер. Можно записать следующую сумму ряда (конечного!):

С С3 + С4 + С5  + С6 + … (1)

Также

V = V3 + V4 + V5 + V6 + … (2)

Так как одно ребро принадлежит двум граням одновременно, то

3С3 + 4С4 + 5С5 + 6С6 + … = 2A. (3)

Так как каждое ребро соединяет две вершины, получим

3V3 + 4V4 + 5V3 + 6V6 + … = 2A. (4)

Используя формулу Эйлера, где обе части умножены на 2, то есть 2С + 2= 4 + 2A, учитывая (1), (2) и (3), получим:

2С3 + 2С4 + 2С5 + 2С + … + 2V3 + 2V4 + 2V5 + 2V6 + … = 4 + 3С3 + 4C4 + 5C5 + 6C6 + …

Иными словами,

2V3 + 2V4 + 2V5 + 2V6 + … = 4 + C3 + 2C4 + 3C5 + 4C6 + … (5)

Аналогично на основе (1), (2) и (4) получим:

2С3 + 2С4 + 2С5 + 2С6 + … + 2V3 + 2V4  + 2V + 2V6 + … = 4 + 3V3 + 4V4 + 5V5 + 6V6  + …

Поделиться:
Популярные книги

Последний попаданец

Зубов Константин
1. Последний попаданец
Фантастика:
фэнтези
попаданцы
рпг
5.00
рейтинг книги
Последний попаданец

Шипучка для Сухого

Зайцева Мария
Любовные романы:
современные любовные романы
8.29
рейтинг книги
Шипучка для Сухого

Хочу тебя любить

Тодорова Елена
Любовные романы:
современные любовные романы
5.67
рейтинг книги
Хочу тебя любить

СД. Том 17

Клеванский Кирилл Сергеевич
17. Сердце дракона
Фантастика:
боевая фантастика
6.70
рейтинг книги
СД. Том 17

Я же бать, или Как найти мать

Юнина Наталья
Любовные романы:
современные любовные романы
6.44
рейтинг книги
Я же бать, или Как найти мать

Беглец

Бубела Олег Николаевич
1. Совсем не герой
Фантастика:
фэнтези
попаданцы
8.94
рейтинг книги
Беглец

Идеальный мир для Лекаря 2

Сапфир Олег
2. Лекарь
Фантастика:
юмористическая фантастика
попаданцы
аниме
5.00
рейтинг книги
Идеальный мир для Лекаря 2

Сумеречный стрелок 7

Карелин Сергей Витальевич
7. Сумеречный стрелок
Фантастика:
городское фэнтези
попаданцы
аниме
5.00
рейтинг книги
Сумеречный стрелок 7

Александр Агренев. Трилогия

Кулаков Алексей Иванович
Александр Агренев
Фантастика:
альтернативная история
9.17
рейтинг книги
Александр Агренев. Трилогия

Жена со скидкой, или Случайный брак

Ардова Алиса
Любовные романы:
любовно-фантастические романы
8.15
рейтинг книги
Жена со скидкой, или Случайный брак

Титан империи 4

Артемов Александр Александрович
4. Титан Империи
Фантастика:
боевая фантастика
попаданцы
аниме
5.00
рейтинг книги
Титан империи 4

Воевода

Ланцов Михаил Алексеевич
5. Помещик
Фантастика:
альтернативная история
5.00
рейтинг книги
Воевода

Тринадцатый IV

NikL
4. Видящий смерть
Фантастика:
боевая фантастика
попаданцы
5.00
рейтинг книги
Тринадцатый IV

Адмирал южных морей

Каменистый Артем
4. Девятый
Фантастика:
фэнтези
8.96
рейтинг книги
Адмирал южных морей