Карты метро и нейронные сети. Теория графов
Шрифт:
Если мы внимательно посмотрим на рисунки выше, то увидим, что две вершины имеют степень, равную 3. Следовательно, данный граф не содержит эйлеров цикл. Однако на втором рисунке видно, что если мы добавим всего одно ребро (выделено пунктиром), то граф будет содержать эйлеров цикл (последовательность обхода ребер обозначена цифрами). При этом нужно будет пройти два раза всего по одной улице (5 и 6). Именно так выглядит алгоритм решения задачи китайского почтальона: если граф не содержит эйлеров цикл, нужно добавить к нему минимально возможное число ребер, которые будут дублировать уже имеющиеся, чтобы получить эйлеров цикл.
На следующих рисунках приведен один из возможных вариантов решения и оптимальный путь
Эта задача широко применяется при доставке разнообразных грузов. Поиск оптимальных маршрутов в крупных городах представляет особый интерес, так как позволяет снизить финансовые и трудовые затраты при уборке улиц, доставке различных товаров и в других процессах. К счастью, в настоящее время при поиске таких маршрутов нам помогают компьютеры.
Рассмотрим следующую задачу. Можно ли найти такой путь в связном графе, который бы проходил через все вершины графа только один раз, причем начальная и конечная вершины при этом совпадали? Такие пути называют гамильтоновыми циклами.
На рисунке выше изображен гамильтонов цикл DABCED. Не следует путать гамильтоновы и эйлеровы циклы: в эйлеровых циклах нужно пройти ровно один раз по всем ребрам графа (вспомним задачу о кёнигсбергских мостах), а в гамильтоновых циклах нужно пройти ровно один раз по всем вершинам. Некоторые графы не содержат гамильтоновых циклов, другие содержат сразу несколько. Например, граф, изображенный на предыдущем рисунке, содержит два гамильтоновых цикла: DABCED и DCEBAD. Разумеется, обойти каждый гамильтонов цикл можно двумя способами: в прямом и в обратном направлении.
Несмотря на сложность поиска гамильтоновых циклов в больших графах, эта задача представляет огромный интерес при организации путешествий, доставке товаров, распределении продуктов в сетях супермаркетов и так далее.
* * *
ИЗОБРЕТЕНИЕ ЦЕНОЙ В ДВЕ ГИНЕИ
Подобные циклы на графах открыл Томас Киркман (1806–1895). Исследованием этих циклов занимался ирландский математик Уильям Роуан Гамильтон (1805–1865), он же сделал их широко известными. В 1859 году Гамильтон придумал такую игру: 20 вершин додекаэдра (правильного 12-гранника) соответствуют 20 городам. Нужно обойти все города по одному разу и при этом вернуться в тот же город, с которого началось путешествие. Восторженный Гамильтон продал идею производителю игрушек за смехотворную сумму в две гинеи. Блестящие идеи не всегда ценятся по достоинству!
Математик Уильям Роуан Гамильтон и придуманная им игра.
* * *
МЕТОД ПОСТРОЕНИЯ ДЕРЕВА
На рисунках ниже показано, как можно сопоставить исходному графу ABCD дерево всех возможных маршрутов для поиска гамильтоновых циклов, которые начинаются и заканчиваются в вершине А, а вершины В, С и D обходятся ровно один раз. С увеличением числа вершин поиск гамильтоновых циклов усложняется: в каждом случае исходным является полный граф с n вершинами (им соответствует n городов). Из каждого города можно попасть в n — 1 город, из каждого из них — в n — 2 города и так далее, пока мы не вернемся в начальную точку. Следовательно, число маршрутов будет равно (n — 1)·(n — 2)·(n — 3)·… ·3·2·1. Вспомним, что факториалом числа называется произведение всех натуральных чисел от 1 до этого числа включительно (например, 6! = 6·5·4·3·2·1), следовательно, общее число циклов будет равно (n — 1)!. Так как каждый цикл можно пройти в прямом и обратном направлении, то общее число различных циклов будет в два раза меньше: (n– 1)1/2. Впрочем, и это число будет очень велико: для n — 6
* * *
В предыдущем разделе мы говорили о гамильтоновых циклах — путях, которые содержат каждую вершину графа ровно один раз, причем начальная и конечная вершина этих путей совпадают. В большинстве практических задач ребрам графа соответствуют некоторые значения; это может быть стоимость перевозки, расстояние и другие параметры. Следовательно, встает вопрос о поиске цикла, для которого стоимость, время или расстояние будут наименьшими.
Почтальон хочет обойти всех адресатов так, чтобы пройти за день как можно меньше. Точно так же действуете и вы, когда планируете отпуск: вы ищете самый короткий маршрут или же более длинный, но при этом самый дешевый, и так далее. В главе 5 мы покажем, что этот вопрос является ключевым в линейном программировании.
* * *
АЛГОРИТМ БЛИЖАЙШЕГО СОСЕДА
Допустим, что А, B, С и D — города, числа на ребрах графа — расстояние между городами в километрах. Вы находитесь в городе А и можно выбрать одну из трех дорог длиной в 300 км, 500 км и 600 км. Вы выбираете ближайший город D. Из города D ведут две дороги длиной 350 и 400 км. Вы снова выбираете ближайший город, на этот раз B. Из города В вы едете в С, затем возвращаетесь в А. Этот алгоритм относится к так называемым «жадным» алгоритмам, так как мы выбираем оптимальное решение на каждом шаге: наименьшие затраты, минимальное время или расстояние (так называемый «жадный» выбор). Этот алгоритм не гарантирует, что конечное решение всегда будет оптимальным. Альтернативой является алгоритм сортировки ребер графа, который также не гарантирует оптимальность решения. В этом алгоритме на каждом шаге выбирается ребро с наименьшим весом, если они не препятствуют построению гамильтонова цикла.
* * *
Решить задачу путешественника на больших графах очень сложно. По этой причине она является классическим примером так называемых NP-полных задач, то есть задач, для которых невозможно найти «быстрый» алгоритм поиска оптимальных решений. В информатике под быстротой алгоритма понимается скорость выполнения компьютерных программ, реализующих этот алгоритм.
* * *
АЛГОРИТМ КРУСКАЛА
Джозеф Бернард Крускал (1928–2010), выпускник Принстонского университета и специалист по комбинаторике из компании Bell Laboratories, в 1950-е годы разработал замечательный алгоритм. Этот алгоритм позволяет получить минимальное остовное дерево (то есть соответствующее наименьшим общим затратам) путем последовательного добавления к нему ребер графа, упорядоченных по возрастанию веса.
* * *
Во множестве реальных ситуаций используются не обыкновенные графы, а орграфы, то есть ориентированные графы. В этих графах к ребрам добавляются стрелки, указывающие направление. Орграф, изображенный на первом рисунке снизу, может соответствовать, например, маршруту по улицам с односторонним движением. На втором рисунке снизу тот же орграф может представлять последовательность задач (А, В, С, D, Е) и порядок, в котором нужно выполнить эти задачи.
В виде орграфов можно представить энергосети, транспортные потоки, телефонные сети, схемы промышленного производства, порядок действий при ремонте и многое другое. Как можно увидеть из второго рисунка, узлы А, В, С, D, Е обозначены не точками, а кругами или прямоугольниками, внутри которых указаны задачи (разгрузка, покраска, установка и прочее), а также соответствующие им веса (1000 евро, 12 минут и так далее). На ребрах ориентированного графа, которые называются дугами, также указаны веса — это оценки затрат финансов, времени и других ресурсов, которые требуются для выполнения соответствующего действия.