Чтение онлайн

на главную - закладки

Жанры

Карты метро и нейронные сети. Теория графов
Шрифт:

Иными словами,

2C3 + 2C + 2C5  + 2C6 + … = 4 + V3 + 2V + 3V5 + 4V6 + … (6)

Вид столь громоздких равенств разочаровывает, но мы перешли от формулы Эйлера к соотношению, которое связывает вершины и грани, и при этом в нем не учитывается число ребер.

Если прибавить к (5) выражение (6), умножив обе его части на 2, получим:

2V3  + 2V + 2V5 + 2V6 + … + 4С3 + 4С4 + 4С5 + 4С6 + … = 12 + С3 + 2С4  + 3С5 + 4С6 +… + 2V3 + 4V4 + 6V5 + 8V6 + …

Упростив

это выражение, получим удивительный результат:

3C3 + 2C + C5 = 12 + 2V4 + 4V5 + … + C7 + 2С8 + … (*)

В этом выражении не фигурирует число ребер, а также отсутствуют шестиугольные грани и вершины, в которых сходятся три ребра. Запомните выражение (*): оно поможет нам совершить много удивительных открытий. Например, вспомним, какую форму имеет футбольный мяч. Это многогранник, в котором сочетаются пятиугольные и шестиугольные грани, а в каждой вершине сходятся три ребра.

Существуют ли другие многогранники, где вершины и грани обладают теми же особенностями? Заметим, что С3 = С4 = Сn = 0 при n >= 7, V4 = Vn = 0 при n >= 5, следовательно, согласно (*) должно выполняться равенство С5 = 12, но С6 остается неопределенным. Б. Грюнбаум и Т. С. Моцкин доказали, что С6 может принимать любое значение, отличное от 1. Любопытно, что пятиугольных граней именно 12.

В многограннике, образованном четырехугольниками и шестиугольниками, согласно (*) 2С4 = 12 + 2V4 + 4V5 + …, то есть минимум шесть его граней будут четырехугольниками. Если вершины будут иметь степень 3, то таких граней будет ровно 6. Если гранями многогранника являются треугольники и шестиугольники, то 3С3 = 12 + 2V4 + 4V5 + … и как минимум четыре грани будут иметь форму треугольника. Если вершины будут иметь степень 3, то треугольных граней будет ровно четыре.

Всегда
существует треугольная, четырехугольная или пятиугольная грань

Попробуйте представить себе выпуклый многогранник, у которого нет ни одной грани в форме треугольника, четырехугольника или пятиугольника. Очевидно, что такого выпуклого многогранника не существует.

Вспомним формулу (*) из прошлого раздела:

3C3 + 2C4 + C5 = 12 + 2V4 + 4V5 + … + С7 + 2С8 + … (*)

Заметим, что выражение в правой части больше или равно 12, то есть всегда выполняется соотношение

3С3 + 2С4 + С5 >= 12.

Кроме того, С3, С4 и С5 не могут быть равны нулю одновременно. Можно сформулировать следующую теорему:

«В любом выпуклом многограннике всегда существует как минимум одна грань в форме треугольника, четырехугольника или пятиугольника».

Другие грани могут иметь любую форму, но как минимум одна грань должна иметь три, четыре или пять ребер. Вспомним, что правильным многогранником называется выпуклый многогранник, все грани которого являются одинаковыми правильными многоугольниками и во всех вершинах которого сходится одинаковое число ребер. Тогда предыдущую теорему можно записать так:

«Единственными правильными многогранниками являются тетраэдр, октаэдр, икосаэдр, куб и додекаэдр».

< image l:href="#"/>

* * *

ГРАФЫ, СООТВЕТСТВУЮЩИЕ ПРАВИЛЬНЫМ МНОГОГРАННИКАМ

Пять правильных многогранников необязательно изображать в перспективе — можно построить соответствующие им плоские графы. Значения V, А и С для следующих фигур представлены в таблице ниже.

Заметим, что в полученной нами теореме общее соотношение Эйлера сочетается с характеристиками многоугольников, ограничивающих часть пространства, образующего многогранник.

* * *

Исходя из полученного результата (всегда будет существовать грань в форме треугольника, четырехугольника или пятиугольника) и из определения правильного многогранника получим, что единственно возможные правильные многогранники будут полностью образованы либо равносторонними треугольниками, либо квадратами, либо правильными пятиугольниками.

Если все грани многогранника — равносторонние треугольники (их углы равны 60°), формула (*) сводится к 3С3 = 12 + 2V4  + 4V5. В тетраэдре С3 = 4 (и, разумеется, V3  = 4, V4 = V5 = 0). Для октаэдра V4 = 6, V3 = V5 = 0 и С3 = 8. В икосаэдре С3 = 20 и V5 = 12.

Популярные книги

Везунчик. Дилогия

Бубела Олег Николаевич
Везунчик
Фантастика:
фэнтези
попаданцы
8.63
рейтинг книги
Везунчик. Дилогия

«Три звезды» миллиардера. Отель для новобрачных

Тоцка Тала
2. Три звезды
Любовные романы:
современные любовные романы
7.50
рейтинг книги
«Три звезды» миллиардера. Отель для новобрачных

Гридень. Начало

Гуров Валерий Александрович
Фантастика:
попаданцы
альтернативная история
5.00
рейтинг книги
Гридень. Начало

Кодекс Охотника. Книга XXVII

Винокуров Юрий
27. Кодекс Охотника
Фантастика:
попаданцы
аниме
фэнтези
5.00
рейтинг книги
Кодекс Охотника. Книга XXVII

Найденыш

Шмаков Алексей Семенович
2. Светлая Тьма
Фантастика:
юмористическое фэнтези
городское фэнтези
аниме
5.00
рейтинг книги
Найденыш

Хозяйка усадьбы, или Графиня поневоле

Рамис Кира
Любовные романы:
любовно-фантастические романы
5.50
рейтинг книги
Хозяйка усадьбы, или Графиня поневоле

Оживший камень

Кас Маркус
1. Артефактор
Фантастика:
городское фэнтези
попаданцы
аниме
5.00
рейтинг книги
Оживший камень

Наваждение генерала драконов

Лунёва Мария
3. Генералы драконов
Любовные романы:
любовно-фантастические романы
5.00
рейтинг книги
Наваждение генерала драконов

Я все еще не князь. Книга XV

Дрейк Сириус
15. Дорогой барон!
Фантастика:
юмористическое фэнтези
попаданцы
аниме
5.00
рейтинг книги
Я все еще не князь. Книга XV

На границе империй. Том 9. Часть 3

INDIGO
16. Фортуна дама переменчивая
Фантастика:
космическая фантастика
попаданцы
5.00
рейтинг книги
На границе империй. Том 9. Часть 3

Мастер 3

Чащин Валерий
3. Мастер
Фантастика:
героическая фантастика
попаданцы
аниме
5.00
рейтинг книги
Мастер 3

Я все еще князь. Книга XXI

Дрейк Сириус
21. Дорогой барон!
Фантастика:
юмористическое фэнтези
попаданцы
аниме
5.00
рейтинг книги
Я все еще князь. Книга XXI

Кодекс Крови. Книга IХ

Борзых М.
9. РОС: Кодекс Крови
Фантастика:
фэнтези
попаданцы
аниме
5.00
рейтинг книги
Кодекс Крови. Книга IХ

Волков. Гимназия №6

Пылаев Валерий
1. Волков
Фантастика:
попаданцы
альтернативная история
аниме
7.00
рейтинг книги
Волков. Гимназия №6