Чтение онлайн

на главную - закладки

Жанры

Карты метро и нейронные сети. Теория графов
Шрифт:

Иными словами,

2C3 + 2C + 2C5  + 2C6 + … = 4 + V3 + 2V + 3V5 + 4V6 + … (6)

Вид столь громоздких равенств разочаровывает, но мы перешли от формулы Эйлера к соотношению, которое связывает вершины и грани, и при этом в нем не учитывается число ребер.

Если прибавить к (5) выражение (6), умножив обе его части на 2, получим:

2V3  + 2V + 2V5 + 2V6 + … + 4С3 + 4С4 + 4С5 + 4С6 + … = 12 + С3 + 2С4  + 3С5 + 4С6 +… + 2V3 + 4V4 + 6V5 + 8V6 + …

Упростив

это выражение, получим удивительный результат:

3C3 + 2C + C5 = 12 + 2V4 + 4V5 + … + C7 + 2С8 + … (*)

В этом выражении не фигурирует число ребер, а также отсутствуют шестиугольные грани и вершины, в которых сходятся три ребра. Запомните выражение (*): оно поможет нам совершить много удивительных открытий. Например, вспомним, какую форму имеет футбольный мяч. Это многогранник, в котором сочетаются пятиугольные и шестиугольные грани, а в каждой вершине сходятся три ребра.

Существуют ли другие многогранники, где вершины и грани обладают теми же особенностями? Заметим, что С3 = С4 = Сn = 0 при n >= 7, V4 = Vn = 0 при n >= 5, следовательно, согласно (*) должно выполняться равенство С5 = 12, но С6 остается неопределенным. Б. Грюнбаум и Т. С. Моцкин доказали, что С6 может принимать любое значение, отличное от 1. Любопытно, что пятиугольных граней именно 12.

В многограннике, образованном четырехугольниками и шестиугольниками, согласно (*) 2С4 = 12 + 2V4 + 4V5 + …, то есть минимум шесть его граней будут четырехугольниками. Если вершины будут иметь степень 3, то таких граней будет ровно 6. Если гранями многогранника являются треугольники и шестиугольники, то 3С3 = 12 + 2V4 + 4V5 + … и как минимум четыре грани будут иметь форму треугольника. Если вершины будут иметь степень 3, то треугольных граней будет ровно четыре.

Всегда
существует треугольная, четырехугольная или пятиугольная грань

Попробуйте представить себе выпуклый многогранник, у которого нет ни одной грани в форме треугольника, четырехугольника или пятиугольника. Очевидно, что такого выпуклого многогранника не существует.

Вспомним формулу (*) из прошлого раздела:

3C3 + 2C4 + C5 = 12 + 2V4 + 4V5 + … + С7 + 2С8 + … (*)

Заметим, что выражение в правой части больше или равно 12, то есть всегда выполняется соотношение

3С3 + 2С4 + С5 >= 12.

Кроме того, С3, С4 и С5 не могут быть равны нулю одновременно. Можно сформулировать следующую теорему:

«В любом выпуклом многограннике всегда существует как минимум одна грань в форме треугольника, четырехугольника или пятиугольника».

Другие грани могут иметь любую форму, но как минимум одна грань должна иметь три, четыре или пять ребер. Вспомним, что правильным многогранником называется выпуклый многогранник, все грани которого являются одинаковыми правильными многоугольниками и во всех вершинах которого сходится одинаковое число ребер. Тогда предыдущую теорему можно записать так:

«Единственными правильными многогранниками являются тетраэдр, октаэдр, икосаэдр, куб и додекаэдр».

< image l:href="#"/>

* * *

ГРАФЫ, СООТВЕТСТВУЮЩИЕ ПРАВИЛЬНЫМ МНОГОГРАННИКАМ

Пять правильных многогранников необязательно изображать в перспективе — можно построить соответствующие им плоские графы. Значения V, А и С для следующих фигур представлены в таблице ниже.

Заметим, что в полученной нами теореме общее соотношение Эйлера сочетается с характеристиками многоугольников, ограничивающих часть пространства, образующего многогранник.

* * *

Исходя из полученного результата (всегда будет существовать грань в форме треугольника, четырехугольника или пятиугольника) и из определения правильного многогранника получим, что единственно возможные правильные многогранники будут полностью образованы либо равносторонними треугольниками, либо квадратами, либо правильными пятиугольниками.

Если все грани многогранника — равносторонние треугольники (их углы равны 60°), формула (*) сводится к 3С3 = 12 + 2V4  + 4V5. В тетраэдре С3 = 4 (и, разумеется, V3  = 4, V4 = V5 = 0). Для октаэдра V4 = 6, V3 = V5 = 0 и С3 = 8. В икосаэдре С3 = 20 и V5 = 12.

Поделиться:
Популярные книги

Адвокат вольного города

Парсиев Дмитрий
1. Адвокат
Фантастика:
городское фэнтези
альтернативная история
аниме
5.00
рейтинг книги
Адвокат вольного города

Темный Лекарь 4

Токсик Саша
4. Темный Лекарь
Фантастика:
фэнтези
аниме
5.00
рейтинг книги
Темный Лекарь 4

Дракон - не подарок

Суббота Светлана
2. Королевская академия Драко
Фантастика:
фэнтези
6.74
рейтинг книги
Дракон - не подарок

Разбуди меня

Рам Янка
7. Серьёзные мальчики в форме
Любовные романы:
современные любовные романы
остросюжетные любовные романы
5.00
рейтинг книги
Разбуди меня

Изгой Проклятого Клана. Том 2

Пламенев Владимир
2. Изгой
Фантастика:
попаданцы
аниме
фэнтези
фантастика: прочее
5.00
рейтинг книги
Изгой Проклятого Клана. Том 2

Провинциал. Книга 2

Лопарев Игорь Викторович
2. Провинциал
Фантастика:
космическая фантастика
рпг
аниме
5.00
рейтинг книги
Провинциал. Книга 2

На границе империй. Том 10. Часть 3

INDIGO
Вселенная EVE Online
Фантастика:
боевая фантастика
космическая фантастика
попаданцы
5.00
рейтинг книги
На границе империй. Том 10. Часть 3

Сумеречный Стрелок 2

Карелин Сергей Витальевич
2. Сумеречный стрелок
Фантастика:
городское фэнтези
попаданцы
аниме
5.00
рейтинг книги
Сумеречный Стрелок 2

Академия

Кондакова Анна
2. Клан Волка
Фантастика:
боевая фантастика
5.40
рейтинг книги
Академия

Попаданка для Дракона, или Жена любой ценой

Герр Ольга
Любовные романы:
любовно-фантастические романы
7.17
рейтинг книги
Попаданка для Дракона, или Жена любой ценой

Жена фаворита королевы. Посмешище двора

Семина Дия
Фантастика:
фэнтези
5.00
рейтинг книги
Жена фаворита королевы. Посмешище двора

Сердце Дракона. Том 12

Клеванский Кирилл Сергеевич
12. Сердце дракона
Фантастика:
фэнтези
героическая фантастика
боевая фантастика
7.29
рейтинг книги
Сердце Дракона. Том 12

Архонт

Прокофьев Роман Юрьевич
5. Стеллар
Фантастика:
боевая фантастика
рпг
7.80
рейтинг книги
Архонт

Лучший из худших

Дашко Дмитрий
1. Лучший из худших
Фантастика:
фэнтези
попаданцы
5.25
рейтинг книги
Лучший из худших