Кентерберийские головоломки

Дьюдени Генри Эрнест

На обычной шахматной доске каждую клетку можно защитить двенадцатью конями, если все кони, кроме четырех, не защищены. Но если каждый конь должен оказаться защищенным, то требуется 14 коней (см. выше головоломку «Защита коней»).

Если иметь дело с ферзями на досках пx п, где пменьше 8, то представляют интерес следующие результаты:

1 ферзь защищает доску 2x21 существенным способом;

1 ферзь защищает доску 3x31 существенным способом;

2 ферзя защищают доску 4x43 существенными способами (защищая друг друга);

3 ферзя защищают доску 4x42

существенными способами (не защищая друг друга);

3 ферзя защищают доску 5x5 37 существенными способами (защищая друг друга);

3 ферзя защищают доску 5x52 существенными способами (не защищая друг друга);

3 ферзя защищают доску 6x61 существенным способом (защищая друг друга);

4 ферзя защищают доску 6x6 17 существенными способами (не защищая друг друга);

4 ферзя защищают доску 7x75 существенными способами (защищая друг друга);

4 ферзя защищают доску 7x71 существенным способом (не защищая друг друга).

Расположения на шахматной доске, не находящиеся под угрозой нападения.

Мы знаем, что пферзей можно всегда разместить на квадратной доске с п ²клетками (если п ›3), чтобы ни один ферзь при этом не атаковал другого ферзя. Однако общей формулы, позволяющей найти число всех таких размещений, еще не найдено; вероятно, ее просто не существует. Известны следующие результаты:

при п = 4существует 1 фундаментальное решения, а всего 10 решений;

при п = 5существует 2 фундаментальных решения, а всего 10 решений;

при п= 6 существует 1 фундаментальное решение, а всего 4 решения;

при п= 7 существует 6 фундаментальных решений, а всего 40 решений;

при п =8 существует 12 фундаментальных решений, а всего 92 решения;

при п =9 существует 46 фундаментальных решений;

при п = 10существует 92 фундаментальных решения;

при п =11 существует 341 фундаментальное решение.

Очевидно, пладей можно разместить на доске пx птак, чтобы они не атаковали друг друга, п!способами, но вот сколько среди них существенно различных, мне удалось узнать лишь для четырех случаев, когда правно 2, 3, 4 и 5. Ответами будут соответственно 1, 2, 7 и 23 (см. головоломку «Четыре льва»).

Мы можем разместить 2п– 2 слонов на доске пx пдвумя способами (см. головоломку «Собрание слонов»). Для досок со стороной в 2, 3, 4, 5, 6, 7 и 8 клеток существует соответственно 1, 2, 3, 6, 10, 20, 36 фундаментально различных размещений. В случае нечетного псуществует 2 ^{1/2( n-4)}таких размещений, каждое из которых порождает с помощью поворотов и отражений по 4 других размещения, и 2 ^{п- 3}– 2 ^{1/2( n-3)}размещение,

порождающие по 8 других размещений. В случае четного пих существует 2 ^{1/2( n-2)}, каждое с помощью поворотов и отражений порождает по 4, и 2 ^n-3– 2 ^{1/2( n-4)}, порождающих по 8 размещений.

На доске пx пмы можем разместить 1/2 ( n ²+ 1) коней, не атакующих друг друга, в случае нечетного подним существенным способом, а когда пчетно, то 1/2 n ²коней удается разместить также одним существенным способом. В первом случае мы всех коней размещаем на клетках того же цвета, что и центральная, а во втором случае мы их всех ставим только на черные или только на белые клетки.

Задачи с двумя фигурами

На доске с п ²клетками два ферзя, две ладьи, два слона или два коня всегда можно расположить (безотносительно к тому, атакуют ли они друг друга или нет) (n ⁴– n ²)/2способами. Следующие формулы показывают, сколькими из способов две фигуры можно расположить при условии взаимной атаки и без нее.

(См. головоломку «Охота на льва».)

Динамические шахматные задачи

147. Турне ладьи.Единственную ладью требуется передвигать по всей доске так, чтобы она посетила каждую клетку ровно по одному разу и закончила свое турне в той клетке, с которой его начала. При этом следует сделать как можно меньшее число ходов, но если вы будете не очень внимательны, то совершите ровно на один ход больше, чем нужно.

Разумеется, клетка считается «посещенной» как в случае, если вы просто проходите через нее, так и в случае остановки в ней, Нас не должны волновать софизмы вроде того, что мы дважды посещаем исходный квадрат. Будем считать, что мы посещаем его один раз.

148. Путешествие ладьи.В названии этой головоломки я не случайно употребил слово «путешествие», поскольку слово «турне» означает возвращение в исходное место, а в данном случае мы не будем этого делать. Ладья делает 21 ход, посетив каждую клетку доски ровно по одному разу, останавливается в клетке 10 в конце десятого хода и заканчивает путешествие в клетке 21.

Два последовательных хода нельзя делать в одном и том же направлении; другими словами, вы должны поворачивать после каждого хода.