Кентерберийские головоломки

Дьюдени Генри Эрнест

A 104 603

В 136 002

С 140502

D 140 520

Е 160 025

F 160304

G 201 405

H 201 605

I 205104

J 206 104

К 241005

L 250014

M 250630

Н 260015

О 261005

С 261040

Q 306 104

–

Можно заметить, что Ми Qполусимметричны относительно центра и, следовательно, с помощью поворотов и отражений породят лишь по 2 расположения каждое, что Я четвертьсимметрично и породит лишь 4 расположения, тогда как 14 других расположений породят с помощью поворотов и отражений по 8 расположений каждое. Следовательно, поворачивая и отражая данные 17 расположений, мы получим всего (2x2) + (4x1) + (8x14) = 120 способов.

Трех поросят можно поместить так, чтобы каждый свинарник располагался на одной прямой с поросенком при условии, что поросятам не запрещается располагаться на одной

прямой с другими; но имеется только один способ сделать это (не считая поворотов и отражений), а именно: 105030.

93. Расположите кубики и знаки умножения следующим образом: 915x64 и 732x80; в обоих случаях произведение окажется равным максимально возможному числу 58 600.

94. Наименьшее возможное число ходов равно 22, то есть И для лис и 11 для гусей. Вот одно из решений головоломки:

Разумеется, читатель должен сделать первый ход, указанный в «числителе» первой «дроби», затем ход, указанный в «знаменателе», затем ход, указанный в числителе второй дроби, и т. д. Я применю здесь мой метод «пуговиц и веревочек». На диаграмме Аданная головоломка представлена на куске шахматной доски с шестью конями.

Сравнение с рисунком из условия показывает, что там я избавил себя от необходимости объяснять неискушенному читателю, как ходит шахматный конь, проведя прямые, показывающие эти ходы. Так что эти две головоломки практически одно и то же, но в разных одеждах. Далее, сравнив рисунок из условия с диаграммой Б,можно заметить, что, расцепив «веревочки», соединяющие кружки, я упростил диаграмму, не изменив существенные соотношения между «пуговицами», или кружками. Читатель теперь без труда сам установит, что требуется 11 ходов для лис и 11 для гусей. Он заметит, что гусь с 1 или 3 должен ходить на 8, дабы избежать соседства с лисой и позволить лисе с 11 перейти на кольцо. Если мы пойдем 1–8, то ясно, что для лис лучше ходить 10 – 5, а не 12 – 5, когда все окажутся на окружности, то им нужно просто прогуляться вдоль нее по часовой стрелке, позаботившись сделать последними ходы 8–3 и 5 – 12. Таким образом, с помощью этого метода наша головоломка становится невероятно простой. (См. также замечание по поводу решения задачи 13.)

95. На рисунке показано, как из найденной доски можно вырезать два куска, из которых удается сложить квадратную крышку стола. А, B, С, D– углы стола. Способ, каким кусок Евставляется в кусок F,должен быть очевидным для читателя. Заштрихованная часть удаляется.

96. Это число должно быть наименьшим общим кратным 1, 2, 3 и т, д. до 15, которое при делении на 7 дает остаток 1, на 9–3, на 11–10, на 13 – 3 и при делении на 14 дает остаток 8. Таким числом является 120. Следующее число с таким свойством – это 360 480, но поскольку не сохранилось свидетельств, чтобы одно дерево (да еще очень молодое) приносило когда-нибудь такое огромное количество яблок, единственным приемлемым ответом может быть лишь 120.

97. Прямоугольная закрытая цистерна, содержащая заданное количество воды и обладающая вместе с тем минимальной поверхностью, должна быть правильным кубом (то есть каждая ее сторона должна представлять собой квадрат). Для цистерны в 1000 кубических футов внутренние размеры должны быть 10x10x10 футов, а цинка на нее пойдет 600 квадратных футов. В случае цистерны без крышки пропорции будут точно как у полукуба. Это и есть требуемые «точные пропорции». Точные размеры привести нельзя, хотя близкими приближенными значениями будут 12,6x12,6x6,3 фута. [36] Цистерна с такими размерами будет содержать чуть больше воды, на что покупатель не станет жаловаться, а жестянщик затратит несущественное количество лишнего металла.

36

Автор имеет в виду, что размеры цистерны

находятся в отношении 1:1:1/2 – («как у полукуба»). Точные размеры таковы:

фута, что приближенно равно значениям, укатанным автором. – Прим. перев.

98. Если вы возьмете лист бумаги и проведете карандашом диагональную прямую, как на рисунке А,то, свернув из листа цилиндр так, чтобы карандашная линия оказалась снаружи, обнаружите, что эта линия будет выглядеть, как на рисунке Б.

Можно заметить, что длина спирали (за один полный оборот) равна длине гипотенузы прямоугольного треугольника, катетами которого служат два края листа. В данной головоломке длина этих катетов равна соответственно 40 фт Г у от 200 фт) и 16 фт 8 дм– 16 2/3 фт. Следовательно, гипотенуза равна 43 1/3 фт = 43 фт 4 дм, а, значит, длина гирлянды в пять раз больше составляет 216 фт. 8 дм. Любопытная особенность этой головоломки состоит в том, что данное значение в точности совпадает с суммой высоты и окружности.

99. Для ответа на вопрос нужно всего лишь сложить оба расстояния от лавок до момента встречи с удвоенной разностью этих расстояний. Таким образом, расстояние между лавками составляет 720+400+640= 1760 ярдов, или одну милю. По-другому ответ можно получить, умножая первое расстояние на 3 и вычитая второе расстояние, только при этом первое расстояние должно превышать 2/3 второго.

100. Всего при заданных условиях можно образовать ровно шесть различных кружков. Вот один способ образования таких кружков:

Соедините концы и вы получите 6 кружков.

Люка придумал простой метод получения пкружков, которые при данных условиях могут образовать 2 n+1 детей.

101. Единственная тройка чисел, удовлетворяющих всем нужным условиям, – это 27, 594, 16 038. Эти три числа содержат все десять цифр и, кроме того, 27x594 = 16 038, a 594 делится без остатка на 27 (594:27 = 22). Если бы допускались числа, состоящие соответственно из одной, четырех и пяти цифр, то нашлось бы много решений вроде 3x5694 = 17 082; но странно, что при исходной формулировке существует лишь одно решение, хотя доказать это совсем не просто.

102*Можно заметить, что в приведенном на рисунке квадрате все числа различны, а их сумма вдоль каждой вертикали, горизонтали и диагонали равна 179 и не меняется при перевертывании рисунка вверх ногами. Читатель обратит внимание, что я не использовал цифры 3, 4, 5, 8 или 0.

103.Всего существует 640 различных путей. Общую формулу в головоломках такого рода получить не удается. Мы, очевидно, должны лишь рассмотреть различные пути между Ви Е.Здесь имеется 9 участков, или «линий», но при данных условиях и при любом выборе пути поезд не может проехать более чем по 7 из них. В следующей таблице под «направлениями» понимается порядок станций безотносительно к «путям». Таким образом, направление BCDEприводит к 9 путям, ибо можно тремя способами добраться от Вдо Си тремя способами – от Dдо Е.Однако направление BDCEне допускает вариаций; следовательно, его вклад в общее количество сводится к одному пути.

2 двухлинейных направления по 3 пути – 6

1 трехлинейное направление по 1 пути – 1

1 трехлинейное направление по 9 путей – 9

2 четырехлинейных направления по 6 путей – 12

2 четырехлинейных направления по 18 путей – 36

6 пятилинейных направлений по 6 путей – 36

2 пятилинейных направления по 18 путей – 36